Question

11．矩形线圈面积为S，匝数为N，线圈电阻为r，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R，从如图所示位置开始计时，求：
（1）电动势e的瞬时值表达式；
（2）流经电阻R的电流的有效值；
（3）当线圈由图示位置转过90°的过程中，电阻R上所产生的焦耳热；
（4）当线圈由图示位置转过90°的过程中，通过电阻R的电荷量q．

Answer 1

分析 （1）由E=NBSω可求出最大感应电动势；分析开始计时的瞬间电动势，再由瞬时值表达式即可求出；
（2）由闭合电路欧姆定律求出流过R电流；
（3）电阻R上产生的焦耳热Q应用电流的有效值来表示，结合最大值和有效值的关系可得有效值，进而求解电热．
（4）由法拉第电磁感应定律求出平均电动势，再由电量公式求出总电量．

解答 解：
（1）产生的感应电动势的最大值为E_m=NBSω，从与中性面垂直位置开始计时，故电动势的瞬时表达式为e=NBsωcosωt
（2）线圈中感应电动势的有效值和最大值E_m的关系是E=$\frac{Em}{\sqrt{2}}$=$\frac{NBSω}{\sqrt{2}}$，电路中电流的有效值为I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{NBSω}{{\sqrt{2}（R+r）}}$
（3）线圈转过90°所需时间为△t=$\frac{T}{4}$=$\frac{2π}{4ω}$=$\frac{π}{2ω}$，电阻R上产生的焦耳热为
Q=I²Rt=$\frac{{πN}^{2}{B}^{2}{S}^{2}ωR}{4（R+r）^{2}}$
（4）转过90°的过程，需要时间为t
根据法拉第电磁感应定律：$\overline{E}=n\frac{△∅}{△t}$=n×$\frac{BS-0}{t}$=$\frac{nBS}{t}$
通过电阻R的电荷量为q=$\overline{I}$•△t=$\frac{NBS}{R+r}$
答：（1）电动势e的瞬时值表达式e=NBsωcosωt；
（2）流经电阻R的电流的有效值$\frac{NBSω}{{\sqrt{2}（R+r）}}$；
（3）当线圈由图示位置转过90°的过程中，电阻R上所产生的焦耳热$\frac{{πN}^{2}{B}^{2}{S}^{2}ωR}{4（R+r）^{2}}$；
（4）当线圈由图示位置转过90°的过程中，通过电阻R的电荷量q为$\frac{NBS}{R+r}$．

点评 本题考查交变电流最大值、有效值的理解和应用的能力，对于交流电表的测量值、计算交流电功率、电功等都用到有效值．