Question

13．据《每日邮报》2015年4月27日报道，英国威尔士一只100岁的宠物龟“T夫人”（Mrs T）在冬眠的时候被老鼠咬掉了两只前腿．“T夫人”的主人为它装上了一对从飞机模型上拆下来的轮胎．现在它不仅又能走路，甚至还能“跑步”了，现在的速度比原来快一倍．如图2所示，设“T夫人”质量m=1.0kg在粗糙水平台阶上静止，它与水平台阶表面的阻力简化为与体重的k倍，k=0.25，且与台阶边缘O点的距离s=5m．在台阶右侧固定了一个$\frac{1}{4}$圆弧挡板，圆弧半径R=5$\sqrt{2}$m，今以O点为原点建立平面直角坐标系．“T夫人”通过后腿蹬地可提供F=5N的水平恒力，已知重力加速度g=10m/s²．
（1）“T夫人”为了恰好能停在O点，蹬地总距离为多少？
（2）“T夫人”为了恰好能停在O点，求运动最短时间；
（3）若“T夫人”在水平台阶上运动时，持续蹬地，过O点时停止蹬地，求“T夫人”击中挡板上的位置的坐标．

Answer 1

分析 （1）“T夫人”在水平表面运动过程中，根据动能定理求蹬地总距离．
（2）“T夫人”先加速后减速，根据牛顿第二定律求出加速度，由位移时间公式和速度公式结合解答．
（3）若“T夫人”在水平台阶上运动时，持续蹬地，由动能定理求出“T夫人”离开平台时的速度，“T夫人”离开平台后做平抛运动，由平抛运动的规律和几何知识结合解答．

解答 解：（1）在水平表面运动过程中，根据动能定理得：Fx-kmgs=0        
可得：x=2.5m
（2）在加速运动中，根据牛顿第二定律得：F-kmg=ma₁，
可得：a₁=2.5m/s²；            
由x=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$可求得：t₁=$\sqrt{2}$s
而加速运动中最大速度：v=a₁t₁=2.5$\sqrt{2}$m/s
在减速运动中，有 kmg=ma₂，a₂=kg=2.5m/s²；             
由v=a₂t₂得 t₂=$\sqrt{2}$s
则T夫人在台阶表面运动的总时间：t=t₁+t₂=2$\sqrt{2}$s
（3）若在台阶表面一直施力，根据动能定理得：Fs-kmgs=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
可得：v=5m/s
离开台阶后做平抛运动，有：x=vt=5t
y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
根据几何关系得：x²+y²=R²=50
解得：x=5m，y=5m
即“T夫人”击中挡板上的位置的坐标为（5m，5m）
答：（1）“T夫人”为了恰好能停在O点，蹬地总距离为2.5m．
（2）“T夫人”为了恰好能停在O点，运动最短时间是2$\sqrt{2}$s．
（3）“T夫人”击中挡板上的位置的坐标为（5m，5m）．

点评 本题综合了动能定理和平抛运动知识，要灵活选择研究的过程，要掌握平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律，并能把握两个方向位移大小的关系．