Question

11．如图所示，将一个小滑块（可视为质点）从距A点高h=1.8m的水平台面上以一定的初速度v₀水平弹出，小滑块恰好落到A点，并且速度方向恰沿AB方向，并沿AB轨滑下，已知AB轨道长l₁=3$\sqrt{3}$m，与水平方向的夹角θ=60°，AB轨道通过微小圆弧与长l₂=$\sqrt{3}$m的水平轨道BC相连，BC轨道在C处与一竖直固定的光滑半圆轨道相切，CD为半圆的竖直直径．已知小滑块与AB和BC间的动摩擦因数均为μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$． g取10m/s²．
（1）求小物块初速度v₀的大小；
（2）求小滑块到达C点时速度v_c的大小； 
（3）要使小滑块只能从C点脱离半圆轨道，则半圆轨道的半径R应该满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）释放弹簧后弹簧的弹性势能转化为小球的动能．先根据小球从离开弹簧到A平抛运动过程，由${v}_{y}^{2}$=2gh求出小球到A点时竖直分速度v_y，再由速度的分解求出到初速度v₀．
（2）从水平飞出到C的过程，有重力和摩擦力对小滑块做功，由动能定理列出公式即可求出C点的速度；
（3）要使小球不离开轨道，有两种情况：第一种情况：是恰好过竖直圆轨道最高点时，先由牛顿第二定律和向心力知识求出到最高点的速度，再由动能定理求解轨道半径．第二种情况：小球恰好到竖直圆轨道最右端，由动能定理求解轨道半径．

解答 解：（1）小球开始时做平抛运动，有：v_y²=2gh
得：v_y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×1.8}$=6m/s
在A点，有：tan60°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
得：v₀=$\frac{{v}_{y}}{tan60°}$=$\frac{6}{\sqrt{3}}$m/s=2$\sqrt{3}$m/s
（2）从水平抛出到C点的过程中，由动能定理得：
mg（h+l₁sinθ）-μmgl₁cosθ-μmgl₂=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据解得：v_C=2$\sqrt{14}$m/s
（3）小球刚刚过最高点时，重力提供向心力，则：mg≤m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
从C到D，由机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
代入数据解得：R≤1.12 m
当小球刚能到达与圆心等高时，由机械能守恒定律有：
  $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=mgR′
代入数据解得：R′=2.8 m
所以要使小球不离开轨道，R应该满足的条件是0＜R≤1.12 m或R≥2.8 m
答：（1）小球初速度v₀的大小是6m/s．
（2）小滑块到达C点时速度v_c的大小是2$\sqrt{14}$m/s．　
（3）要使小滑块只能从C点脱离半圆轨道，则半圆轨道的半径R应该满足是0＜R≤1.12 m或R≥2.8 m．

点评 本题是复杂的力学综合题，明确研究对象的运动过程是解决问题的前提，根据题目已知条件和求解的物理量选择物理规律解决问题．第3小题是临界问题，有两种可能的情况，不能漏解．