Question

3．如图所示，x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于纸面向里．x轴下方有一匀强电场，电场强度为E、方向与y轴的夹角θ=45°且斜向上方．现有一质量为m电量为q的正离子，以速度v₀由y轴上的A点沿y轴正方向射入磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x轴上的C点（图中未画出）进入电场区域，离子经C点时的速度方向与电场方向相反． 不计离子的重力，设磁场区域和电场区域足够大，求：
（1）C点的坐标；
（2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间；               
（3）回答：离子从第三次过x轴到第四次过x轴的过程在做什么运动．并大致画出离子前四次穿越x轴在磁场和电场区域中的运动轨迹．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在匀强磁场中在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出轨迹半径．画出粒子运动的轨迹，由几何知识求出C点的坐标；
（2）根据运动轨迹的几何关系，来确定圆心角，并结合周期公式与牛顿第二定律、运动学公式，即可求解；
（3）根据粒子做类平抛运动处理规律，由运动的分解，并结合运动学公式，即可求解．

解答 解：（1）磁场中带电粒子在洛仑兹力作用下做圆周运动，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{mv}{qB}$，
由几何知识知，x_C=-（r+rcos450）=-$\frac{（2+\sqrt{2}）mv}{2qB}$，
故，C点坐标为（-$\frac{（2+\sqrt{2}）mv}{2qB}$，0）．
（2）粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
设粒子从A到C的时间为t₁，由几何知识知：t₁=$\frac{5}{8}$T=$\frac{5πm}{4qB}$，
设粒子从进入电场到返回C的时间为t₂，其在电场中做匀变速运动，
由牛顿第二定律和运动学公式，有：qE=ma，2v₀=at₂，解得：t₂=$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$，
设粒子再次进入磁场后在磁场中运动的时间为t₃，由题意得：t₃=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πm}{2qB}$，
粒子从A点到第三次穿越x轴的时间为：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{7πm}{4qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；
（3）粒子从第三次过x轴到第四次过x轴的过程是在电场中做类平抛的运动，
粒子运动轨迹如图所示：

答：（1）C点的坐标为（-$\frac{（2+\sqrt{2}）mv}{2qB}$，0）；
（2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间为$\frac{7πm}{4qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；               
（3）离子从第三次过x轴到第四次过x轴的过程在做类平抛运动，离子前四次穿越x轴在磁场和电场区域中的运动轨迹如图所示．

点评 本题是粒子在电场和磁场中运动的问题，电场中类平抛运动的研究方法是运动的分解，磁场中圆周运动的研究方法是画轨迹．