Question

如图所示，在倾角θ=30°，相距L=1m的光滑轨道上端连有一电阻R=9Ω，整个轨道处于垂直轨道方向的磁感应强度B=1T的匀强磁场中，现在轨道上由静止释放一质量m=100g，电阻r=lΩ的金属棒，当棒下滑s=5m时恰好达到最大速度，不计导轨电阻．求：
（1）棒下滑的最大速度．
（2）棒下滑的速度为3m/s时棒的加速度大小为多少
（3）电阻R在这个过程中产生的热量．

Answer 1

分析：（1）当金属棒开始运动时，会受到沿轨道向上的安培力，速度增大时，安培力增大，金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度减小到0时，速度达到最大，达到稳定状态，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律推导出安培力与速度的关系式，列出平衡方程，求出最大速度．
（2）根据安培力的表达式，求出此时的安培力，根据牛顿第二定律求解加速度大小．
（3）金属棒沿导轨下滑距离为s的过程中，重力势能减小，动能增加，内能增加，根据能量守恒求出整个电路产生的热量．

解答：解：（1）滑棒在下滑过程中速度最大时，加速度a=0，根据平衡条件有：
   mgsinθ=F_安，
又F_安=BIL，I=

E

R+r

，E=BLv_m，则得：F_安=

B2L2vm

R+r

由此可解得最大速度：v_m=

mgsinθ(R+r)

B2L2

代入数据解得：v_m=

0.1×10×sin30°(9+1)

12×12

m/s=5m/s．
（2）根据牛顿第二定律得：mgsinθ-

B2L2v

R+r

=ma
则得，a=gsinθ-

B2L2v

m(R+r)

代入数据得：a=[10×

1

2

-

12×12×3

0.1×(9+1)

]m/s²=2m/s²．
（3）由功能关系可得棒在下滑过程中产生的热量为：
 Q=mgssinθ-

1

2

mv_m²=（0.1×10×5×

1

2

-

1

2

×0.1×52）J=1.25J．
电阻R在这个过程中产生的热量 Q_R=

R

R+r

Q=

9

1+9

×1.25J=1.125J
答：（1）棒下滑的最大速度为5m/s．（2）棒下滑的速度为3m/s时棒的加速度大小为2m/s²．（3）电阻R在这个过程中产生的热量为1.125J

点评：解决本题的关键能够分析出金属棒的运动情况，当a=0时，速度达到最大．再运用平衡条件和能量守恒定律求解．