Question

9．电子的发现揭开了人类对原子结构的认识．汤姆生用来测定电子的比荷的实验装置如图所示．真空管内的阴极K发出的电子（不计初速度、重力和电子间的相互作用），经加速电压加速后，穿过A′中心的小孔沿中心轴O₁O的方向进入到两块水平正对放置的平行极板P和P′间的区域．
 当极板P和P′间不加偏转电压时，电子束打在荧光屏的中心O点处，形成了一个亮点；若加上偏转电压U后，亮点偏离到O′点，（O′与O点的竖直间距为d，水平间距可忽略不计）．若此时，在P和P′间，再加上一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场，调节磁场的强度，当磁感应强度的大小为B时，亮点重新回到O点，已知极板水平方向的长度为L₁，极板间距为b，极板右端到荧光屏的距离为L₂（如图所示）．求：
（1）加偏转电压U后，板间区域的电场强度大小和方向；
（2）再加入磁场后，分析电子重新回到O点的原因，并求出能打在O点的电子速度的大小；
（3）根据实验现象和条件，推导电子比荷的表达式．

Answer 1

分析 （1）加偏转电压后，板间电场为匀强电场，根据匀强电场的场强公式求解
（2）当电子受到电场力与洛伦兹力平衡时，做匀速直线运动，因此由电压、磁感应强度可求出运动速度．
（3）电子在电场中做类平抛运动，将运动分解成沿电场强度方向与垂直电场强度方向，然后由运动学公式求解．电子离开电场后，做匀速直线运动，从而可以求出偏转距离的表达式，变型得到电子的荷质比表达式．

解答 解：（1）加偏转电压U后，板间区域的电场强度大小$E=\frac{U}{b}$
电场强度的方向竖直向下
（2）当电子受到的电场力与洛沦兹力平衡时，电子做匀速直线运动，亮点重新回复到中心O点，设电子的速度为v，则 
 evB=eE     
得  v=$\frac{E}{B}$
即  $v=\frac{U}{Bb}$
（3）当极板间仅有偏转电场 时，电子以速度v进入后，竖直方向作匀加速运动，加速度为a=$\frac{eU}{mb}$
电子在水平方向作匀速运动，在电场内的运动时间为${t}_{1}^{\;}=\frac{{L}_{1}^{\;}}{v}$
这样，电子在电场中，竖直向上偏转的距离为  ${d}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{eU}{mb}×\frac{{L}_{1}^{2}}{{v}_{\;}^{2}}=\frac{eU{L}_{1}^{2}}{2mb{v}_{\;}^{2}}$
离开电场时竖直向上的分速度为  ${v}_{1}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}=\frac{eU{L}_{1}^{\;}}{mvb}$
电子离开电场后做匀速直线运动，经t₂时间到达荧光屏  ${t}_{2}^{\;}=\frac{{L}_{2}^{\;}}{v}$
t₂时间内向上运动的距离为 ${d}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}=\frac{eU{L}_{1}^{\;}{L}_{2}^{\;}}{m{v}_{\;}^{2}b}$
这样，电子向上的总偏转距离为$d={d}_{1}^{\;}+{d}_{2}^{\;}=\frac{eU{L}_{1}^{\;}}{2m{v}_{\;}^{2}b}（2{L}_{2}^{\;}+{L}_{1}^{\;}）$
可解得   $\frac{e}{m}=\frac{2Ud}{{B}_{\;}^{2}b{L}_{1}^{\;}（{L}_{1}^{\;}+2{L}_{2}^{\;}）}$  
答：（1）加偏转电压U后，板间区域的电场强度大小$\frac{U}{b}$和方向竖直向下；
（2）再加入磁场后，分析电子重新回到O点的原因，打在O点的电子速度的大小$\frac{U}{Bb}$；
（3）根据实验现象和条件，推导电子比荷的表达式$\frac{2Ud}{{B}_{\;}^{2}b{L}_{1}^{\;}（{L}_{1}^{\;}+2{L}_{2}^{\;}）}$

点评 考查平抛运动处理规律：将运动分解成相互垂直的两方向运动，因此将一个复杂的曲线运动分解成两个简单的直线运动，并用运动学公式来求解．