题目内容

（2008?惠州三模）如图所示，在光滑绝缘水平面上有两个带电小球A、B，质量分别为3m和m，小球A带正电q，小球B带负电-2q，开始时两小球相距s0，小球A有一个水平向右的初速度v0，小球B的初速度为零，若取初始状态下两小球构成的系统的电势能为零，则
（1）试证明：当两小球的速度相同时系统的电势能最大，并求出该最大值；
（2）在两小球的间距仍不小于s0的运动过程中，求出系统的电势能与系统的动能的比值的取值范围．
分析：（1）电势能等于系统动能的减小量，根据动量守恒定律和能量守恒定律求出系统动能减小量的表达式，通过数学方法求出当动能损失最大时，两球速度的关系，从而求出最大值．
（2）根据能量守恒求出系统动能的最小值，抓住在两球间距仍不小于s0的运动过程中，系统的电势能总小于系统的动能．求出两种能量的比值的取值范围．
解答：解：（1）由于两小球构成的系统合外力为零，设某状态下两小球的速度分别为vA和vB，由动量守恒定律得 3mv0=3mvA+mvB（1）
所以，系统的动能减小量为  △Ek=
1
2
3m
v
2
0
-
1
2
3m
v
2
A
-
1
2
m
v
2
B
（2）
由于系统运动过程中只有电场力做功，所以系统的动能与电势能之和守恒，考虑到系统初状态下电势能为零，故该状态下的电势能可表为
Epe=△Ek=
1
2
3m
v
2
0
-
1
2
3m
v
2
A
-
1
2
m
v
2
B
（3）
联立（1）、（3）两式，得 Epe=-6m
v
2
A
+9mv0vA-3m
v
2
0
（4）
由（4）式得：当 vA=
3
4
v0时，系统的电势能取得最大值，而将（5）式代入（1）式，得 vA=vB=
3
4
v0（6）
即当两小球速度相同时系统的电势能最大，最大值为Epemax=
3
8
m
v
2
0
（7）
（2）由于系统的电势能与动能之和守恒，且初始状态下系统的电势能为零，所以在系统电势能取得最大值时，系统的动能取得最小值，为Ekmin=Ek0-Epemax=
1
2
3m
v
2
0
-
3
8
m
v
2
0
=
9
8
m
v
2
0
（8）
由于Ekmin＞Epemax
所以在两球间距仍不小于s0的运动过程中，系统的电势能总小于系统的动能．
在这过程中两种能量的比值的取值范围为0≤
Epe
Ek
≤
Epemax
Ekmin
=
1
3
（9）
答：（1）最大的电势能为Epemax=
3
8
m
v
2
0
．
（2）系统的电势能与系统的动能的比值的取值范围0≤
Epe
Ek
≤
1
3
．
点评：本题综合考查了动量守恒定律，能量守恒定律，综合性较强，对学生的能力要求较高，对数学计算的能力要求也高，需加强训练．
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