Question

6．如图所示，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面（xoy平面）向外；在第四象限存在匀强电场，方向沿x轴负方向．在y轴正半轴上某点以与x轴正向平行、大小为v₀的速度发射一个质量为m、电荷量为+q粒子，该粒子在（d，0）点沿垂直于x轴的方向进入电场．不计重力．若该粒子离开电场时速度方向与y轴负方向的夹角为θ，求：
（1）磁感应强度大小
（2）电场强度的大小．

Answer 1

分析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，在电场中做类平抛运动，作出粒子运动轨迹，由几何知识求出粒子做匀速圆周运动的轨道半径，然后应用牛顿第二定律、类平抛运动规律可以求出电场强度与磁感应强度．

解答 解：（1）粒子运动轨迹如图所示：
粒子进入磁场后做匀速圆周运动．设磁感应强度的大小为B，
粒子质量与所带电荷量分别为m和q，圆周运动的半径为R₀．
由牛顿第二定律得：$q{v_0}B=m\frac{{{v_0}^2}}{R}$…①
由题给条件和几何关系可知：R=d…②
联立①②可得：$B=\frac{{m{v_0}}}{qd}$…③
（2）设电场强度大小为E，粒子进入电场后沿x轴负方向的加速度大小为a_x，
在电场中运动的时间为t，离开电场时沿x轴负方向的速度大小为v_x．
由牛顿定律得：qE=ma_x …④
由匀变速直线运动的速度公式得：v_X=a_Xt…⑤
由匀变速直线运动的平均速度公式得：$\frac{v_X}{2}t=d$…⑥
由于粒子在电场中做类平抛运动（如图），有：$tan?=\frac{v_x}{v_0}$…⑦
联立④⑤⑥式得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}ta{n}^{2}θ}{2qd}$…⑧
答：（1）磁感应强度大小为$\frac{m{v}_{0}}{qd}$；
（2）电场强度的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}ta{n}^{2}θ}{2qd}$．

点评 本题考查了带电粒子在匀强电场中的类平抛运动，在磁场中的匀速圆周运动，对数学的几何能力要求较高，关键画出粒子的轨迹图，结合牛顿第二定律以及向心力等知识进行求解．