Question

10．一水平传送带以v=4m/s的速度逆时针传送，水平部分长L=6m，其左端与一倾角θ=45°的斜面平滑相连，斜面足够长，一个可视为质点的物块无初速度地放在传送带最右端，已知物块与传送带和斜面间的动摩擦因数均为μ=0.25，g=10m/s²．求：
（1）物块第一次从传送带最右端到最左端所用的时间．
（2）物块第一、二次从传送带滑向斜面在斜面上滑行的最大距离之比．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出物块在传送带上的加速度，根据速度时间公式求出匀加速运动的时间，根据速度位移公式求出匀加速运动的位移，从而求出匀速运动的位移，得出匀速运动的时间，从而得出物块第一次从传送带最右端到最左端所用的时间．
（2）根据牛顿第二定律和运动学公式求出物块第一次沿斜面上滑的最大距离，根据牛顿第二定律求出在斜面下滑的加速度，结合速度位移公式求出返回底端的速度，从而得出第二次上滑的速度，结合速度位移公式求出第二次上滑的最大距离，求出物块第一、二次从传送带滑向斜面在斜面上滑行的最大距离之比．

解答 解：（1）物块在传送带上匀加速直线运动的加速度为：
a=μg=0.25×10m/s²=2.5m/s²，
匀加速直线运动的时间为：
${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{4}{2.5}s=1.6s$，
匀加速直线运动的位移为：
$x=\frac{{v}^{2}}{2a}=\frac{16}{2×2.5}m=3.2m$，
则物块匀速运动的时间为：
${t}_{2}=\frac{L-x}{v}=\frac{6-3.2}{4}s=0.7s$．
可知t=t₁+t₂=1.6+0.7s=2.3s．
（2）物块沿斜面上滑的加速度大小为：
${a}_{1}=\frac{mgsin45°+μmgcos45°}{m}$=gsin45°+μgcos45°=$\frac{25\sqrt{2}}{4}m/{s}^{2}$，
第一次沿斜面上滑的最大距离为：
${x}_{1}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{16}{2×\frac{25\sqrt{2}}{4}}=\frac{16\sqrt{2}}{25}m$．
物块沿斜面下滑的加速度大小为：
${a}_{2}=\frac{mgsin45°-μmgcos45°}{m}$=gsin45°-μgcos45°=$\frac{15\sqrt{2}}{4}m/{s}^{2}$，
则物块滑到底端的速度为：
$v′=\sqrt{2{a}_{2}{x}_{1}}$=$\sqrt{2×\frac{15\sqrt{2}}{4}×\frac{16\sqrt{2}}{25}}$=$\sqrt{9.6}$m/s，
物块滑上传送带后先做匀减速直线运动，然后做匀加速直线运动，返回到斜面底端的速度仍然为$\sqrt{9.6}$m/s，
则第二次沿斜面上滑的最大距离为：
${x}_{2}=\frac{v{′}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{9.6}{2×\frac{25\sqrt{2}}{4}}=\frac{9.6\sqrt{2}}{25}$m，
可知x₁：x₂=16：9.6=5：3．
答：（1）物块第一次从传送带最右端到最左端所用的时间为2.3s．
（2）物块第一、二次从传送带滑向斜面在斜面上滑行的最大距离之比为5：3．

点评 解决本题的关键理清物块在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．