Question

15．“大自然每个领域都是美妙绝伦的．”随着现代科技发展，人类不断实现着“上天入地”的梦想，但是“上天容易入地难”，人类对脚下的地球还有许多未解之谜．地球可看作是半径为R的球体．
（1）以下在计算万有引力时，地球可看作是质量集中在地心的质点．
a．已知地球两极的重力加速度为g₁，赤道的重力加速度为g₂，求地球自转的角速度ω；
b．某次地震后，一位物理学家通过数据分析，发现地球的半径和质量以及两极的重力加速度g₁都没变，但赤道的重力加速度由g₂略微减小为g₃，于是他建议应该略微调整地球同步卫星的轨道半径．请你求出同步卫星调整后的轨道半径r'与原来的轨道半径r之比$\frac{r'}{r}$．
（2）图1是地球内部地震波随深度的分布以及由此推断出的地球内部的结构图．在古登堡面附近，横波（S）消失且纵波（P）的速度与地表处的差不多，于是有人认为在古登堡面附近存在着很薄的气态圈层，为了探究气态圈层的压强，两位同学提出了以下方案．
甲同学的方案：如图2所示，由于地球的半径非常大，设想在气态圈层的外侧取一底面积很小的柱体，该柱体与气态圈层的外表面垂直．根据资料可知古登堡面的半径为R₁，气态圈层之外地幔及地壳的平均密度为ρ，平均重力加速度为g，地球表面的大气压强相对于该气态圈层的压强可忽略不计．
乙同学的方案：设想在该气态圈层内放置一个正方体，并且假定每个气体分子的质量为m，单位体积内的分子数为n，分子大小可以忽略，其速率均相等，且与正方体各面碰撞的机会均等，与各面碰撞前后瞬间，分子的速度方向都与各面垂直，且速率不变．根据古登堡面附近的温度可推知气体分子运动的平均速率为v．
请你选择其中的一种方案求出气态圈层的压强p．

Answer 1

分析 （1）先求地震前后得角速度之比，再根据万有引力提供向心力求地震前后的同步卫星的轨道半径之比
（2）根据甲乙两同学设计的实验方案任选一种模型求解即可

解答 解：（1）a．设地球的质量为M，对于质量为m的物体，
在两极有：$m{g}_{1}^{\;}=\frac{GMm}{{R}_{\;}^{2}}$…①
在赤道，根据牛顿第二定律有：$\frac{GMm}{R^2}-m{g_2}=mR{ω^2}$…②
联立①②可得：$ω=\sqrt{\frac{{g}_{1}^{\;}-{g}_{2}^{\;}}{R}}$  
b．设地震后地球自转的角速度为ω'，
根据牛顿第二定律有：$\frac{GMm}{R^2}-m{g_3}=mR{ω'^2}$…③
联立①③可得：$ω′=\sqrt{\frac{{g}_{1}^{\;}-{g}_{3}^{\;}}{R}}$
设同步卫星的质量为m'，根据牛顿第二定律，
地震前有：$G\frac{Mm′}{{r}_{\;}^{2}}=m′r{ω}_{\;}^{2}$…④
地震后有：$\frac{GMm'}{{{{r'}^2}}}=m'r'{ω'^2}$…⑤
联立①②③④⑤可得：$\frac{r′}{r}=\root{3}{\frac{{g}_{1}^{\;}-{g}_{2}^{\;}}{{g}_{1}^{\;}-{g}_{3}^{\;}}}$
（2）甲同学的方案：
设该柱体的底面积为S，则柱体的总重力为：G=ρS（R-R₁）g…⑥
该柱体静止，支持力与重力的合力为零．即：${F}_{重}^{\;}=G$…⑦
由牛顿第三定律可知，柱体对气态圈层的压力 ${F}_{压}^{\;}={F}_{重}^{\;}$…⑧
气态圈层中的气体压强为$p=\frac{F_压}{S}$…⑨
联立⑥⑦⑧⑨式可得：p=ρ（R-R₁）g
乙同学的方案：
设正方体边长为a，△t时间内与一个面发生碰撞的气体分子数为N，则：
$N=\frac{1}{6}n{a}_{\;}^{3}$…⑩
$△t=\frac{a}{v}$…⑪
设该面与气体分子间的压力大小为F，由动量定理得：
-F△t=Nm（-v）-Nmv…⑫
则气体的压强为：$p=\frac{F}{a^2}$…⑬
联立⑩式可得：$p=\frac{1}{3}nm{v^2}$
答：（1）同步卫星调整后的轨道半径r'与原来的轨道半径r之比$\frac{r′}{r}=\root{3}{\frac{{g}_{1}^{\;}-{g}_{2}^{\;}}{{g}_{1}^{\;}-{g}_{3}^{\;}}}$
（2）甲同学方案，气态圈中的气体压强为$ρ（R-{R}_{1}^{\;}）g$；
乙同学方案，气态圈中的气体压强为$\frac{1}{3}nm{v}_{\;}^{2}$

点评 本题的阅读量较大，本题的物理模型非常经典，对经典问题的创新考查，但整体而言，题目很基础，适合高三一轮复习．