Question

一条宽度为L的河流，水流速度为，已知船在静水中的速度为，那么：(1)怎样渡河时间最短？(2)若，怎样渡河位移最小？(3)若，怎样渡河船漂下的距离最短？

Answer 1

答案：略
解析：

(1)如图甲所示，设船头斜向上游与河岸成任意角q ，这时船速在垂直河岸方向的速度分量为，渡河所需的时间为 ． 可以看出，L、一定时，t随sinq 增大而减小；当q =90°时，sinq =1(最大)．所以船头与河岸垂直时，渡河时间最短 ． (2)如图乙所示，渡河的最小位移即河的宽度．为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直．这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度q ，船沿河流上游方向的分速度与水流速度等值反向 ， ， 即 ． 因为，所以只有在时，船才有可能垂直河岸横渡． (3)如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游．怎样才能使漂下的距离最短呢？如图丙所示，设船头与上游河岸成q 角，合速度与河岸成?角．可以看出：?角越大，船漂下的距离x越短．那么，在什么条件下?角最大呢？以的矢尖为圆心，大小为半径画圆，当与圆相切时，?角最大．根据知，船头与河岸的夹角应为 ． 船漂下的最短距离为 ， 此时渡河的最短位移为 ， 此时渡河的时间 ． 　　小船渡河的实际运动可以看作是船在静水中的运动和船随水流的运动合成的．根据运动的独立性和等时性，从题中已知河宽的条件分析，小船在垂直河岸方向的速度最大时，所用的时间短，因此可将小船渡河运动沿水流方向和垂直河岸方向分解，找出最大的垂直速度即可．小船渡河的最短位移是河宽，但此时船在静水中的速度与水流速度必须满足一定的条件，即船沿河流上游方向的分速度要与水流速度等值反向，这样合速度才能垂直于河岸，最终到达正对岸．如果船沿河流上游方向的分速度不能与水流速度等值反向，则合速度只能偏向下游，最终船将无法到达正对岸，但这种情况下船漂向下游的距离存在最小值． 　　本题着重考查的是对运动合成和分解的应用，根据运动的等时性，灵活选择是由合运动求时间，还是由某一分运动求时间，正确的分解运动是解答本题的关键．