Question

目前，我国正在实施“嫦娥奔月”计划．如图所示，登月飞船以速度v0绕月球做圆周运动，已知飞船质量为m=1．2×104kg，离月球表面的高度为h=100km，飞船在A点突然向前做短时间喷气，喷气的相对速度为u=1．0×104m/s，喷气后飞船在A点的速度减为vA，于是飞船将沿新的椭圆轨道运行，最终飞船能在图中的B点着陆（    A．B连线通过月球中心，即A．B两点分别是椭圆的远月点和近月点），试问：

   （1）飞船绕月球做圆周运动的速度v0是多大？

   （2）由开普勒第二定律可知，飞船在    A．B两处的半径与速率的乘积相等，即rAvA=rBvB，为使飞船能在B点着陆，喷气时需消耗多少燃料？已知月球的半径为    R=1700km，月球表面的重力加速度为g=1．7m/s2（选无限远处为零势能点，物体的重力势能大小为Ep=）．

 

Answer 1

【答案】

（1）当飞船以v0绕月球做半径为rA=R+h的

                  圆周运动时，由牛顿第二定律得，

                  （3分）

                  则（3分）

                  式中M表示月球的质量，R为月球的半径，为月球表面的重力加速度，

                  所以代入数据得，v0=1652m/s（2分）

   （2）根据开普勒第二定律，飞船在  A．B两处的面积速度相等，所以有rAvA=rBvB，

                  即（R+h）vA=RvB  ①（2分）

                  由机械能守恒定律得，  ②（2分）

                  由①②式并代入数据得，vA=1628m/s（2分）

                  故登月所需速度的改变量为m/s（2分）

                  飞船在A点喷气前后动量守恒，设喷气总质量为⊿m，因喷气前的动量为mv0，喷气后的动量为（m－⊿m）vA+⊿m（v0+u），前后动量相等，

                  故有mv0=（m－⊿m）vA+⊿m（v0+u），（2 分）

                  故喷气所消耗的燃料的质量为⊿m=m⊿v/（u+⊿v）=28．7kg（2分）

【解析】略