Question

在相对于实验室静止的平面直角坐标系S中，有一个光子，沿x轴正方向射向一个静止于坐标原点O的电子．在y轴方向探测到一个散射光子．已知电子的静止质量为m₀，光速为c，入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的1/10．
（1）试求电子运动速度的大小v，电子运动的方向与x轴的夹角θ；电子运动到离原点距离为L₀（作为已知量）的A点所经历的时间△t．
（2）在电子以1中的速度v开始运动时，一观察者S′相对于坐标系S也以速度v沿S中电子运动的方向运动（即S′相对于电子静止），试求S′测出的OA的长度．

Answer 1

分析：根据题设条件和能量与速度关系计算电子运动的速度，根据运动情况作图，结合能量守恒列方程组计算电子的运动方向，根据速度的定义式计算O到A的时间．
根据相对论的尺缩效应计算S′测出的OA的长度．

解答：解：（1）由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为
 

m0c2

1- v2 c2

=1.10m0c2                         （1）
由此可解得
v=

0.21

1.10

=0.417c≈0.42c                            （2）
入射光子和散射光子的动量分别为p=

hv

c

和p′=

hv′

c

，方向如图所示．电子的动量为mv，m为运动电子的相对论质量．由动量守恒定律可得
    

m0v

1- v2 c2

cosθ=

hv

c

                   （3）

m0v

1- v2 c2

sinθ=

hv′

c

                   （4）
已知hv-hv′=0.10m0c2               （5）
由（2）、（3）、（4）、（5）式可解得
v=

0.37m0c2

h

                                      （6）
v′=

0.27m0c2

h

                                     （7）
θ=tan-1

v′

v

=arctan(

27

37

)=36.1°                      （8）
电子从O点运动到A所需时间为
△t=

L0

v

=

2.4L0

c

                                    （9）
（2）当观察者相对于S沿OA方向以速度v运动时，由狭义相对论的长度收缩效应得
L=L0

1- v2 c2

                                     （10）
L=0.91L₀                                          （11）
答：（1）电子运动速度的大小v为0.42c，电子运动的方向与x轴的夹角θ为36.1°；
电子运动到离原点距离为L₀（作为已知量）的A点所经历的时间△t为

2.4L0

c

．
（2）在电子以1中的速度v开始运动时，一观察者S′相对于坐标系S也以速度v沿S中电子运动的方向运动（即S′相对于电子静止），则S′测出的OA的长度为0.91L₀．

点评：第19届全国中学生物理竞赛复赛题．在电子以1中的速度v开始运动时，观察者S′相对于坐标系S也以速度v沿S中电子运动的方向运动，狭义相对论的长度收缩效应，此时S′测出的OA的长度肯定要小于L₀．