Question

18．如图所示，两根足够长且平行的光滑金属导轨与水平面成53°夹角固定放置，导轨间连接一阻值为6Ω的电阻R，导轨电阻忽略不计．在两平行虚线m、n间有一与导轨所在平面垂直、磁感应强度为B的匀强磁场．导体棒a的质量为m_a=0.4kg，电阻R_a=3Ω；导体棒b的质量为m_b=0.1kg，电阻R_b=6Ω；它们分别垂直导轨放置并始终与导轨接触良好．a、b从开始相距L₀=0.5m处同时由静止开始释放，运动过程中它们都能匀速穿过磁场区域，当b刚穿出磁场时，a正好进入磁场（g取10m/s²，不计a、b之间电流的相互作用）．求：
（1）在穿越磁场的过程中，a、b两导体棒匀速运动的速度大小之比
（2）磁场区域沿导轨方向的宽度d
（3）在整个过程中，产生的总焦耳热．

Answer 1

分析 （1）两棒匀速穿越磁场的过程中，安培力等于重力沿斜面向下的分力．a棒匀速通过时，a棒相当于电源，求出总电阻，b棒匀速通过时，b棒相当于电源，求出总电阻．根据平衡条件得到BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{总}}$=mgsinθ，即可求出速度之比．
（2）当b棒到达m时，两棒的速度相等，设b棒通过磁场的时间为t，则a棒到达m的速度v_a=v_b+gsin53°t，又d=v_bt，根据两棒匀速运动的速度关系，再根据速度位移公式，可求出磁场区域沿导轨方向的宽度d．
（3）在a穿越磁场的过程中，因a棒切割磁感线产生感应电流，可求出对应的安培力做功，同理b棒切割磁感线，产生感应电流，从而求出安培力做功，则可得到两棒整个过程中产生的总焦耳热．

解答 解：（1）在b穿越磁场的过程中，b是电源，a与R是外电路，电路的总电阻为：
R_总1=R_b+$\frac{R{R}_{a}}{R+{R}_{a}}$=8Ω
同理，a棒在磁场中匀速运动时，有：R_总2=R_a+$\frac{RRb}{R+Rb}$=6Ω
设b在磁场中匀速运动的速度大小为v_b，则b中的电流为：I_b=$\frac{BLv}{{R}_{总1}}$
由平衡条件得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{b}}{{R}_{总1}}$=m_bgsin53°
同理，a棒在磁场中匀速运动时：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{a}}{{R}_{总2}}$=m_agsin53°
可得：v_a：v_b=3：1
（2）设a、b穿越磁场的过程中的速度分别为v_a和v_b．由题意得：
 v_a=v_b+gtsin53°
 d=v_bt
因 v${\;}_{a}^{2}$-v${\;}_{b}^{2}$=2gL₀sin53°
解得：d=0.25 m
（3）由F_安a=m_agsin53°，故W_a=m_agdsin53°=0.8 J
同理：W_b=m_bgdsin53°=0.2 J
在整个过程中，电路中共产生焦耳热：Q=W_a+W_b=1 J
答：（1）在穿越磁场的过程中，a、b两导体棒匀速运动的速度大小之比为3：1．
（2）磁场区域沿导轨方向的宽度d是0.25m．
（3）在整个过程中，产生的总焦耳热是1J．

点评 解决本题的关键能够正确地对a、b棒进行受力分析，根据受力情况判断物体的运动情况．以及知道在匀速运动时，安培力等于重力沿斜面方向的分力．