Question

12．如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在倾角为α的斜面上，间距为L，底端接阻值为R的电阻．将质量为m的金属棒ab连接在一个固定于斜面上的劲度系数为k的轻弹簧下端，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨所在平面与磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直，除电阻R外其余电阻不计．现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，当金属棒速度第一次为零时，其加速度为a₀．已知弹性势能的表达式为Ep=$\frac{1}{2}$kx²，其中x为弹簧的形变量，重力加速度为g．
（1）求释放瞬间金属棒的加速度并判断金属棒向下运动过程中流过金属棒的电流方向；
（2）从开始到金属棒速度第一次为零的过程中，求流过电阻R的电荷量；
（3）导体棒最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律列方程求解加速度；根据右手定则判断电流方向；
（2）根据牛顿第二定律求解速度第一次等于零的伸长量，根据电荷量的计算公式求解电荷量大小；
（3）根据平衡条件求解最终静止的位置；根据能量关系求解从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热．

解答 解：（1）释放瞬间金属棒的速度为零，没有产生感应电流，不受安培力，弹簧没有发生形变，弹簧弹力为零，由牛顿第二定律得：mgsinα=ma，
解得加速度为：a=gsinα；
根据右手定则可知金属棒向下运动过程中流过金属棒的电流方向为从b到a；
（2）从开始到金属棒速度第一次为零时，设弹簧伸长x，则根据牛顿第二定律可得：kx-mgsinα=ma₀，
解得：x=$\frac{mgsinα+m{a}_{0}}{k}$；
根据电荷量的计算公式可得：q=$\overline{I}t$=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{BLx}{R}$=$\frac{BL（mgsinα+m{a}_{0}）}{kR}$；
（3）导体棒最终静止时，弹簧的弹力与重力沿斜面向下的分力相等，设此时弹簧伸长x₀，
根据平衡条件可得：kx₀=mgsinα，
解得x₀=$\frac{mgsinα}{k}$；
根据能量关系可得从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热为：Q=mgsinα•x₀-$\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$，
解得：Q=$\frac{（mgsinα）^{2}}{2k}$．
答：（1）释放瞬间金属棒的加速度为gsinα；金属棒向下运动过程中流过金属棒的电流方向为从b到a；
（2）从开始到金属棒速度第一次为零的过程中，流过电阻R的电荷量为$\frac{BL（mgsinα+m{a}_{0}）}{kR}$；
（3）导体棒最终静止的位置距离原来位置沿斜面向下$\frac{mgsinα}{k}$处；从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为$\frac{（mgsinα）^{2}}{2k}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，根据牛顿第二定律或平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．