题目内容

13．如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L．已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G．则两星球做圆周运动的周期为2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（m+M）}}$；
在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1．但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2．已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg．则T2与T1两者平方之比为1.01．（结果保留3位有效数字）

分析 这是一个双星的问题，A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，A和B有相同的角速度和周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律解决问题．

解答 解：（1）设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的万有引力大小为F，运行周期为T．根据万有引力定律有：F=G$\frac{Mm}{（R+r）^{2}}$①
由匀速圆周运动的规律得F=m（$\frac{2π}{T}$）2r  ②
  F=M（$\frac{2π}{T}$）2R  ③
由题意有 L=R+r  ④
联立①②③④式得：T=2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（m+M）}}$ ⑤
（2）在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，由题意知，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出
  T1=2π$\sqrt{\frac{L{′}^{3}}{G（M′+m′）}}$ ⑥
式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则G$\frac{M′m′}{L{′}^{2}}$=m′（$\frac{2π}{{T}_{2}}$）2L′⑦
式中，T2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得：
  T2=2π$\sqrt{\frac{L{′}^{3}}{GM′}}$ ⑧
由⑥⑧式得：（$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}$）2=1+$\frac{m′}{M′}$ ⑨
代入题给数据得：（$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}$）2=1.012  ⑩
故答案为：（1）2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（m+M）}}$；（2）1.01．

点评 对于双星问题，关键我们要抓住它的特点，即两星球的万有引力提供各自的向心力和两星球具有共同的周期．

练习册系列答案
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3．如图甲所示，一半径为r1的单匝圆形导线框P内有一个与P共面的圆形磁场区域Q，P、Q的圆心相同，Q的半径为r2．t=0时刻，Q内存在着垂直于纸面向里的磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示．若规定逆时针方向为电流的正方向，则线框P中感应电流I随时间t变化的关系图象应该是图中的（　　）
A．B．C．D．
4．在做“研究匀变速直线运动”的实验中：
（1）实验室提供了以下器材：打点计时器、一端装有定滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、交流电源、秒表．其中在本实验中不需要的器材是秒表．
（2）已知打点计时器所用交流电的频率为50Hz．如图所示为实验所打出的一段纸带，在顺次打出的点中，从O点开始每5个打点间隔取1个计数点，分别记为A、B、C、D．相邻计数点间的距离已在图中标出，则每两个计数点的时间间隔为0.1s，则打点计时器打下计数点C时，小车的瞬时速度v=0.23m/s；小车的加速度a=0.40m/s2．
1．现有一束带同种等量电荷的不同离子，从同一点以垂直电场方向进入同一偏转电场，当飞出电场后在荧光屏上形成一个亮点，则（　　）
A．离子进入电场的初速度相同B．离子进入电场的初动量相同
C．离子进入电场的初动能相同D．离子必须经同一加速电场加速
8．如图所示，水平光滑长杆上套有小物块A，细线跨过O点的轻小定滑轮一端连接A，另一端悬挂小物块B，C为O点正下方杆上一点，滑轮到杆距离OC=h．开始时A位于P点，PO与水平方向的夹角为30°．现将A、B由静止释放，则（　　）
A．物块A由P点出发第一次到达C点过程中，加速度不断增大
B．物块B从释放到最低点过程中，动能不断增大
C．物块A在杆上长为$\sqrt{3}$h的范围内做往复运动
D．物块B的机械能最小时，物块A的动能最大
18．如图所示，光滑水平面上的O处有一质量为m=2Kg物体．物体受到两个水平力的作用，F1=4N，F2=（8-2x）N，x为物体相对O的位移．物体从静止开始运动，问：
（1）当位移为x=1m时物体的加速度多大？
（2）在何位置物体的加速度最大？最大值为多少？
（3）在何位置物体的速度最大？最大值为多少？
5．如图所示，将两个质量均为m的小球a、b用细线相连并悬挂于O点，用力F拉小球a使整个装置处于平衡状态，且悬线Oa与竖直方向的夹角为θ=60°，则力F的大小可能为（　　）
A．$\sqrt{3}$mgB．mgC．$\frac{\sqrt{3}}{2}$mgD．2mg
2．如图，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道．表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动．已知人和摩托车的总质量为m，人以v1=$\sqrt{2gR}$的速度过轨道最高点B，并以v2=$\sqrt{3}$v1的速度过最低点A．求在A、B两点轨道与摩托车之间的弹力各为多少？
3．在水平面上放置一质量为M、倾角为θ的斜面体，一质量为m的木块刚好能够在斜面上匀速下滑（斜面体保持静止）．现用与斜面成α角的力F拉着木块沿斜面匀速上升，如图所示，斜面体仍然保持静止．
（1）当α为何值时，拉力F有最小值，求此最小值．
（2）当拉力F为最小值时，求斜面体受到的水平地面的摩擦力fM．

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