Question

4．如图所示，空间存在足够大的竖直向下的匀强电场，带正电荷的小球（可视为质点且所受电场力与重力相等）自空间0点以水平初速度v₀抛出，落在地面上的A点，其轨迹为一抛物线．现仿此抛物线制作一个光滑绝缘滑道并固定在与OA完全重合的位置上，将此小球从0点由静止释放，并沿此滑道滑下，在下滑过程中小球未脱离滑道．P为滑道上一点，已知小球沿滑道滑至P点时其速度与水平方向的夹角为45°，下列说法正确的是（　　）

• A． 小球两次由O点运动到P点的时间相等
• B． 小球经过P点时，水平位移与竖直位移之比为1：2
• C． 小球经过滑道上P点时，电势能变化了$\frac{1}{4}$mv${\;}_{0}^{2}$
• D． 小球经过滑道上P点时，重力的瞬时功率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$mgv₀

Answer 1

分析 第一次小球做类平抛运动，第二次在轨道作用下受轨道作用力，小球不做类平抛运动，根据运动与受力特征进行受力分析求解．

解答 解：A、第二次不是平抛运动，此时球在滑道上运动时会受到滑道的弹力，使竖直方向上的加速度减小，故时间变长．故A错误．
B、小球第一次做类平抛运动沿抛物线运动到P点时速度应也与水平方向的夹角为45°，在水平方向上的分量为v₀，在竖直方向上的分量应也为v_y=v₀，
在水平方向上的位移x=v₀t，在竖直方向上的位移为：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，所以有：$\frac{x}{y}=\frac{2{v}_{0}}{at}=\frac{2{v}_{0}}{{v}_{y}}$=$\frac{2}{1}$，故B错误．
C、第一次做类平抛运动时，只有重力和电场力做功，根据动能定理合力做功等于动能的增量为：
$2mgh=\frac{1}{2}m（\sqrt{2}{v}_{0}）^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$．
第二次在滑动上从静止滑下时，也只有重力和电场力做功，下落同样的高度，合力做功一样多，即：
2mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$．
而电场力等于重力，所以电场力作用为：mgh=$\frac{1}{4}m{v}_{0}^{2}$，即电势能减小$\frac{1}{4}m{v}_{0}^{2}$，故C正确；
D、由C中2mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$可知，小球在滑道上运动到P点时的速度为v₀，所以在竖直方向的分速度为$\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}$，所以重力做功的功率为：P=mg•$\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}mg{v}_{0}$，故D正确．
故选：CD．

点评 解决本题的关键掌握处理平抛运动的方法，注意小球在滑道上的运动情况与平抛运动的情况不同，但是水平位移和竖直位移是一样的．