题目内容

10．如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r=0.8m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看作重合．现一有质量m=2kg可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放（取g=10m/s2）．
（1）若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少要有多高？
（2）若小球静止释放处离C点的高度h小于（1）中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h．
（3）若小球自H=0.6m处静止释放，求小球到达F点对轨道的压力大小．

分析 （1）小球从ABC轨道下滑，机械能守恒．设到达C点时的速度大小为υ．小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点D必须满足mg≤m$\frac{{v}^{2}}{r}$，联立即可求解H；
（2）小球恰好击中与圆心等高的E点，根据平抛运动的特点求出C点速度，再根据机械能守恒定律求h；
（3）先根据机械能守恒定律求出到达F点的速度，再根据向心力公式即可求解压力．

解答 解：（1）小球从ABC轨道下滑，机械能守恒，设到达C点时的速度大小为υ．则：
由机械能守恒定律得
    mgH=$\frac{1}{2}$mv2…①
小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足：mg≤m$\frac{{v}^{2}}{r}$…②
①、②联立并代入数据得：H≥0.4m
所以H至少要有0.4m高．
（2）若小球恰好击中与圆心等高的E点，则由平抛运动的规律得：
竖直方向有：r=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向有：r=vCt
由机械能守恒定律有 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
联立解得 h=0.2m
（3）设小球到达F点的速度为vF，则由机械能守恒定律得：
   mg（H+2r）=$\frac{1}{2}$mvF2；
在F点有：N-mg=m$\frac{{v}_{F}^{2}}{r}$
联立解得：N=75N
根据牛顿第三定律得：小球到达F点时对轨道的压力大小为75N
答：
（1）若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少要有0.4m高．
（2）若小球静止释放处离C点的高度h小于（1）中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，h是0.2m．
（3）若小球自H=0.6m处静止释放，小球到达F点对轨道的压力大小是75N．

点评 本题是圆周运动结合平抛运动的题型，要知道小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足mg≤m$\frac{{v}^{2}}{r}$，若不满足，则小球做平抛运动．

练习册系列答案
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