Question

9．若地球半径为R，“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面的高度为h，地球可视为质量分布均匀的球体，质量分布均匀的球壳对球壳内物体的万有引力为零，则“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度大小之比为（　　）

• A． $\frac{R-d}{R+h}$
• B． $\frac{（R-d）^{2}}{（R+h）^{2}}$
• C． $\frac{（R-d）（R+h）^{2}}{{R}^{3}}$
• D． $\frac{（R-d）（R+h）}{{R}^{2}}$

Answer 1

分析 根据题意知，地球表面的重力加速度等于半径为R的球体在表面产生的加速度，深度为d的底的加速度相当于半径为R-d的球体在其表面产生的加速度，根据地球质量分布均匀得到加速度的表达式，再根据半径关系求解即可．

解答 解：在距地面高度为h处，g=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$，M=$\frac{4}{3}$πR³ρ；
在海水底部，g'=$\frac{GM′}{（R-d）^{2}}$，M'=$\frac{4}{3}$π（R-d）³ρ；
联立解得：$\frac{g′}{g}=\frac{（R-d）（R+h）^{2}}{{R}^{3}}$
故选：C．

点评 抓住在地球表面重力和万有引力相等，在底部，地球的重力和万有引力相等，要注意在底部所谓的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为（R-d）的球体的质量．