Question

8．倾角为α=37°无限长的斜面固定于地面上，有一可看成质点的滑块在斜面上的B点静止，其质量为M=4kg，M与斜面的动摩擦因数处处相等且为μ=0.8，另一质量为2kg的滑块m（下表面光滑）从离B距离为d=$\frac{25}{3}$m、且在B点上方的某点A由静止下滑，然后两滑块发生极短时间的碰撞，碰后分离，且M的速率是m的两倍，已知重力加速度为g=10m/s²．试求：
（1）碰撞过程中损失的机械能E；
（2）M与m发生第二次碰撞的地点离B静止的位置多远？（计算结果可用分数表示）

Answer 1

分析 （1）先根据动能定理求出滑块m与M第一碰撞前瞬间的速度．再根据动量守恒定律求出碰后两者的速度，即可由能量守恒定律求碰撞过程损失的机械能．
（2）第一次碰撞后与第二次碰撞的过程中，两者通过的位移相等，根据牛顿第二定律求出各自的加速度，由位移公式求出时间，再由位移公式求第二次碰撞的地点离B静止的位置．

解答 解：（1）设m与M第一碰撞前瞬间的速度为v0．碰撞后瞬间m与M的速度分别为v₁和v₂．
对m下滑过程，由动能定理得：mgdsin37°=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得：v₀=10m/s
对于碰撞过程，取没斜面向下为正方向．
第一情况：若碰后两者同向运动，根据动量守恒定律得：
mv₀=mv₁+Mv₂．
据题有：v₂=2v₁．
联立解得：v₁=1m/s，v₂=2m/s
碰撞过程中损失的机械能为：E=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$Mv₂²．
代入数据解得：E=91J
第二种情况：若碰后两者反向运动，根据动量守恒定律得：
mv₀=Mv₂-mv₁
据题有：v₂=2v₁．
联立解得：v₁=$\frac{10}{3}$m/s，v₂=$\frac{20}{3}$m/s
碰撞过程中损失的机械能为：E=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$Mv₂²．
代入数据解得：E=0J
（2）碰撞后，m的加速度为：a₁=$\frac{mgsin37°}{m}$=gsin37°=6m/s²．
M的加速度为：a₂=$\frac{Mgsin37°-μMgcos37°}{M}$
代入数据解得：a₂=-0.4m/s²．
设第一次碰后经过时间t发生第二次碰撞．
第一种情况：根据位移关系得：
v₂t+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=v₁t+$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
解得：t=$\frac{5}{16}$s
M匀减速至停止运动的时间为：t′=$\frac{0-{v}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{-2}{-0.4}$=5s＞t
所以t是合理的．
M与m发生第二次碰撞的地点离B静止的位置距离为：S=v₁t+$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
解得：S=$\frac{235}{256}$m
第二种情况：取沿斜面向下为正方向，则有：
v₂t+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=-v₁t+$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
解得：t=$\frac{15}{16}$s＜t′
所以t是合理的．
M与m发生第二次碰撞的地点离B静止的位置距离为：S′=-v₁t+$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
解得：S=$\frac{435}{256}$m
答：（1）碰撞过程中损失的机械能E是91J或0J；
（2）M与m发生第二次碰撞的地点离B静止的位置距离为$\frac{235}{256}$m或$\frac{435}{256}$m．

点评 解决本题的关键是要正确分析物体的运动过程，把握碰撞的基本规律：动量守恒定律，要注意速度的方向，不能漏解．