题目内容

19．如图1所示，小球（可视为质点）在光滑圆弧槽上的A、A′之间往复运动，小球的运动视为简谐运动，使用周期性外力驱动小球，得出驱动力频率与振幅之间的关系如图2所示，当驱动力频率为f0时小球振幅最大．撤去驱动力，小球自由振动，A、A′点为左右端点，D为最低点，A、A′点与圆心O的连线与竖直方向之间的夹角相等且均为θ，（θ＜5°），已知重力加速度g，求：
（1）光滑圆弧槽的半径；
（2）小球运动过程中，在最低点D和端点A处对光滑圆弧槽的压力之比．

分析 （1）受迫振动的频率等于驱动力的频率，当系统的固有频率等于驱动力的频率时，系统达到共振，振幅达到最大．由图2读出共振时驱动力的频率，即为小球的固有频率，再由单摆的频率公式求圆弧槽的半径；
（2）撤去驱动力，小球自由振动，在D点，由合力提供向心力．在A点，向心力为零，由牛顿定律求解．

解答 解：（1）由题可得，小球振动的固有频率为 f=f0．
由于θ＜5°，所以撤去驱动力后小球的振动等效于摆长等于圆弧槽的半径的单摆振动，则有：
f=$\frac{1}{2π}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$
解得圆弧槽的半径为：R=$\frac{g}{4{π}^{2}{f}_{0}^{2}}$
（2）从A到D，由机械能守恒定律得：
mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D点，由牛顿第二定律得：ND-mg=$\frac{m{v}_{D}^{2}}{R}$
联立解得 ND=（3-2cosθ）mg
由牛顿第三定律可知，小球在D点对圆弧槽的压力大小为：ND′=ND=（3-2cosθ）mg
在A点，速度为零，向心力为零，则有：NA=mgcosθ
由牛顿第三定律可知，小球在A点对圆弧槽的压力大小为：NA′=NA=mgcosθ
故$\frac{N{′}_{D}}{N{′}_{A}}$=$\frac{3-2cosθ}{cosθ}$
答：（1）光滑圆弧槽的半径是$\frac{g}{4{π}^{2}{f}_{0}^{2}}$；
（2）小球运动过程中，在最低点D和端点A处对光滑圆弧槽的压力之比是$\frac{3-2cosθ}{cosθ}$．

点评 解决本题的关键要掌握共振的条件：驱动力的频率等于物体的固有频率．对于圆周运动求力时，往往根据机械能守恒定律和牛顿定律结合解答．

练习册系列答案
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9．验证牛顿第二定律的实验中，在小车的质量不变的条件下得到了如下一组实验数据．
拉力F/N0.1960.2940.3920.4900.588
加速度a（m/s2）0.250.380.901.201.53
（1）在如图坐标纸上画a-F图象，并延长至横轴；
（2）从图中可以发现实验中的问题是没有平衡摩擦力或平衡摩擦力不足；
（3）从图中求出小车的质量为0.3kg．
10．某金属逸出的光电子的最大初动能和入射光的频率v变化的关系图象如图所示，直线与横轴的交点坐标为4.29×1014Hz，与纵轴交点坐标为0.5eV．则下列说法正确的是（　　）
A．该金属的逸出功为0.5eV
B．该金属的极限频率为4.29×1014Hz
C．当入射光频率为5.5×1014Hz时，光的强度越大
D．直线的斜率表示普朗克常量h
E．该图说明了光电子的最大初动能与入射光的频率成正比
7．关于公式R=$\frac{U}{I}$和公式R=ρ$\frac{l}{S}$，下列说法中不正确的是（　　）
A．两公式对一切情况都适用
B．R=$\frac{U}{I}$仅适用于金属导体，R=ρ$\frac{l}{S}$适用于任何导体
C．导体的电阻R与U成正比，与I成反比
D．导体的电阻在温度一定时，与导体的长度成正比，与导体的横截面积成反比
14．选修3-1“导体的电阻”这一节教材中思考了这样一个问题：R1和R2是材料和厚度相同，表面都为正方形的导体，R1的边长是R2的2倍，则R1和R2的大小关系是（　　）
A．R1=R2B．R1＞R2C．R1＜R2D．无法判断
4．起重机将一个静止于地面上质量为m的物体吊到距地面高度h时，物体获得的速度为v，空气阻力不计，重力加速度为g，则（　　）
A．起重机的吊绳对物体做的功等于mgh+$\frac{1}{2}$mv2
B．物体所受合外力对物体做的功等于mgh+$\frac{1}{2}$mv2
C．重力对物体做的功等于$\frac{1}{2}$mv2
D．物体所受合外力对物体做的功等于$\frac{1}{2}$mv2
11．如图所示，某同学在研究平抛运动的实验中，在小方格纸上画出小球做平抛运动的轨迹以后，又在轨迹上取出a、b、c、d四个点（轨迹已擦去）．已知小方格纸的边长L，重力加速度为g，请你根据小方格纸上的信息，通过分析计算完成下面几个问题：
（1）小球从a到b，b到c，c到d所经历的时间相等（填“相等”或“不相等”）；
（2）小球平抛运动的初速度v0=2$\sqrt{gL}$；
（3）从抛出点到b点所经历的时间t=$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}$．
8．如图，质量为M、倾角为θ的斜面放在粗糙水平面上，质量为m的物体在斜面上恰能匀速下滑，现加上一个沿斜面向下的力F，使物体在斜面上加速下滑（斜面始终不动），则此过程中（　　）
A．物体与斜面间的动摩擦因数为$\frac{1}{tanθ}$
B．地面对斜面的支持力大小为（M+m）g
C．物体下滑的加速度大小为$\frac{F}{m}$+gsinθ
D．地面对斜面的摩擦力大小为Fcosθ
16．如图所示，电路（a）、（b）中，与灯泡的电阻相比较，电阻R和自感线圈L的电阻都较小．下列关于灯泡A的发光情况说法正确的是 （　　）
A．在电路（a）中，闭合S，A将缓慢变亮
B．在电路（b）中，闭合S，A将缓慢变亮
C．在电路（a）中，闭合S，待电路稳定后，断开S，A将先变得更亮，然后渐渐变暗
D．在电路（b）中，闭合S，待电路稳定后，断开S，A将先变得更亮，然后渐渐变暗

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