Question

5．地球周围有磁场，由太空射来的带电粒子在此磁场中的运动称为磁漂移．以下描述的是一种假设的磁漂移运动．一带正电的粒子在x=0、y=0处沿y方向以某一速度v₀运动，空间存在垂直于图中纸面向外的匀强磁场，在y＞0的区域中，磁感强度为B₁，在y＜0的区域中磁感强度为B₂，B₂＞B₁，如图所示．
（1）把粒子在出发点x=0处作为第0次过x轴，试求粒子到第n次过x轴整个过程中，在x轴方向的平均速度v与v₀之比，n只取奇数．
（2）若B₂：B₁=4，当n很大时，v：v₀趋于何值．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出粒子的轨道半径与周期，然后由平均速度公式求出平均速度，再求出速度之比．
（2）根据速度之比的表达式求出当B₂：B₁=4、n很大时，速度比值的极限值．

解答 解：（1）设粒子的电量为q，质量为m，在B₁和B₂中运动轨道的半径分别为r₁和r₂，周期分别是T₁和T₂．
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，
解得：r₁=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$…①，
r₂=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{2}}$…②
T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$…③
T₂=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$…④
设用x表示第n次（n取奇数）过x轴时沿x方向的位移的大小，用t表示从开始到此时的时间，
则有：x=$\frac{n+1}{2}$×2r₁-$\frac{n-1}{2}$×2r₂ …⑤
t=$\frac{n+1}{2}$$\frac{{T}_{1}}{2}$+$\frac{n-1}{2}$$\frac{{T}_{2}}{2}$…⑥
由①到⑥可得：$\frac{v}{{v}_{0}}$=$\frac{\frac{x}{t}}{{v}_{0}}$=$\frac{2[（n+1）\frac{{B}_{2}}{{B}_{1}}-（n-1）]}{π[（n+1）\frac{{B}_{2}}{{B}_{1}}+（n-1）]}$…⑦
（2）若B₂：B₁=4，当n很大时，$\frac{v}{{v}_{0}}$趋于$（\frac{v}{{v}_{0}}）_{n→∞}$=$\frac{6}{5π}$…⑧
答：（1）在x轴方向的平均速度v与v₀之比为$\frac{2[（n+1）\frac{{B}_{2}}{{B}_{1}}-（n-1）]}{π[（n+1）\frac{{B}_{2}}{{B}_{1}}+（n-1）]}$．
（2）若B₂：B₁=4，当n很大时，v：v₀趋于$\frac{6}{5π}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，该题考查带电粒子在磁场中的运动的半径公式与周期公式的应用，分析清楚粒子运动过程是解题的关键，应用洛伦兹力公式与牛顿第二定律求出粒子的轨道半径与周期即可解题．