Question

（10分）如图所示，遥控电动赛车（可视为质点）从A点由静止出发，经过时间t后关闭电动机，赛车继续前进至B点后进入固定在竖直平面内的圆形光滑轨道，通过轨道最高点P后又进入水平轨道CD上。已知赛车在水平轨道AB部分和CD部分运动时受到阻力恒为车重的0.5倍，即k=F_f/mg=0.5，赛车的质量m=0.4kg，通电后赛车的电动机以额定功率P=2W工作，轨道AB的长度L=2m，圆形轨道的半径R=0.5m，空气阻力可忽略，取重力加速度g=10m/s²。某次比赛，要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又在CD轨道上运动的路程最短。在此条件下，求：

（1）小车在CD轨道上运动的最短路程

（2）赛车电动机工作的时间

Answer 1

（10分）解：

（1）要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又在CD轨道上运动的路程最短，则小车经过圆轨道P点时速度最小，此时赛车对轨道的压力为零，重力提供向心力：

                                                     （1分）

C点的速度，由机械能守恒定律可得：

                                       

由上述两式联立，代入数据可得：v_C=5m/s                          （2分）

设小车在CD轨道上运动的最短路程为x，由动能定理可得：

                                             （2分）

代入数据可得：x =2.5m                                           （1分）

（2）由于竖直圆轨道光滑，由机械能守恒定律可知：v_B = v_C =5m/s      （1分）

从A点到B点的运动过程中，由动能定理可得：

                                             （2分）

代入数据可得：t = 4.5s                                           （1分）