Question

设地球是一个密度均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，如果沿地球的直径挖一条隧道，将物体从此隧道一端由静止释放刚好运动到另一端（如图所示），不考虑阻力，在此过程中关于物体的运动速度v随时间t变化的关系图象可能是（　　）

A、

B、

C、

D、

Answer 1

分析：根据题意知，地球表面的重力加速度等于半径为R的球体在表面产生的加速度，深度为d位置的加速度相当于半径为R-d的球体在其产生的加速度，根据地球质量分布均匀得到加速度的表达式，再根据半径关系分析加速度的变化求解即可．

解答：解：如果物体在距地心为r处（r≤R），那么这个物体只会受到以地心为球心、以r为半径的那部分球体的万有引力，
而距地心为r到R之间的物质对物体作用力的合力为零．物体掉入隧道之后，不是做自由落体运动．
设物体的质量为m，地球密度为ρ，以半径为r的那部分球体的质量为M，距地心r处的重力加速度为g，
则M=

4

3

πr³ρ，

GMm

r2

=mg，得
g=

GMm

r2

=

4

3

πρGr． ①
由于物体掉入隧道之后，r在变化，由①式可知g也在变化，且离地心越近g越小，在地心处g=0．所以物体不是做自由落体运动．
考虑到方向，有g=-

4

3

πρGr，即物体的加速度g与位移r大小成正比、方向相反，所以物体在隧道中的运动是简谐运动．
故选C．

点评：解决该题关键要运用万有引力等于重力表示出隧道内的重力加速度的变化情况去分析运动情况．