Question

7．中国将在2030年前进行火星探测、深空太阳观测、小行星伴飞和着陆、金星探测、木星探测和火星取样返回等多个深空探测项目．若深空中一小行星的半径是地球半径的$\frac{1}{4}$，质量是地球质量的$\frac{1}{6}$．已知地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，引力常量为G．求：
（1）该小行星表面的重力加速度g′；
（2）该小行星的密度ρ．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力求出星球表面的重力加速度，结合星球的质量关系和半径关系求出表面重力加速度的关系，从而求出小行星表面的重力加速度．
（2）根据星球的质量和体积求出星球的密度的表达式，结合重力加速度和半径的大小求出小行星的密度．

解答 解：（1）根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
因为一小行星的半径是地球半径的$\frac{1}{4}$，质量是地球质量的$\frac{1}{6}$，则小行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{8}{3}$倍，即小行星表面的重力加速度为：
$g′=\frac{8}{3}g$．
（2）根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
则地球的密度密度为：$ρ′=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3g}{4πGR}$，
因为小行星表面的重力加速度为：$g′=\frac{8}{3}g$，
小行星的半径为：$R′=\frac{1}{4}R$，
则小行星的密度为：ρ=$\frac{3×\frac{8}{3}g}{4πG×\frac{1}{4}R}=\frac{8g}{GπR}$．
答：（1）该小行星表面的重力加速度为$\frac{8}{3}g$；
（2）该小行星的密度为$\frac{8g}{GπR}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力这一重要理论，并能灵活运用，难度不大．