Question

16．小球沿与水平面夹角为θ的光滑斜面下滑时的加速度为gsinθ，如图所示，小球分别从竖直杆上的a、b、c三点，沿与水平面夹角分别为60°、45°、30°的光滑斜面aA、bB、cC滑到水平面上半径为R的圆周上的A、B、C三点，所用的时间分别为t₁、t₂、t₃，则（　　）

• A． t₁＞t₂＞t₃
• B． t₁=t₃＞t₂
• C． t₁=t₃＜t₂
• D． t₁＜t₂＜t₃

Answer 1

分析 设斜面倾角为θ，先根据牛顿第二定律求解加速度，然后根据运动学公式求解时间表达式进行讨论．

解答 解：根据题目提供的条件得：a=gsinθ…①
底长为R，根据位移时间关系公式，有：
$\frac{R}{cosθ}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$…②
由①②两式联立解得：
$t=\sqrt{\frac{2R}{gsinθcosθ}}=\sqrt{\frac{4R}{gsin2θ}}$；
故当2θ=90°时，θ=45°时的时间最短，
θ=30°时，${t}_{3}=\sqrt{\frac{4R}{gsin2θ}}=\sqrt{\frac{4R}{gsin60°}}=\sqrt{\frac{8R}{\sqrt{3}g}}$
θ=60°时，${t}_{1}=\sqrt{\frac{4R}{gsin2θ}}=\sqrt{\frac{4R}{gsin120°}}=\sqrt{\frac{8R}{\sqrt{3}g}}$
然后将故有：t₁=t₃＞t₂；
故选：B．

点评 本题关键推导出时间的一般表达式，最后结合三角函数知识进行讨论，基础题目．