Question

7．如图甲时实验室的过山车模型装置，图乙是其简易模型，它由倾斜轨道在同一竖直平面内的二个圆形轨道组成，第一圆轨道半径2R，第二圆轨道半径R，圆形轨道间不相互重叠，倾斜轨道与圆轨道平滑相接，B，C分别是两个圆形轨道的最低点，一个质量为m的小球（视为质点）从倾斜轨道上某处P点由静止开始滑下，小球与水平轨道间的动摩擦因数为μ，其他轨道均为光滑．
（1）若要求小球能通过第一圆轨道最高点，则P点距水平轨道BC的高度h至少为多少？
（2）若小球能先后通过两个竖直圆轨道，且经过B、C两个最低点时，对轨道的压力均为6mg，试求水平轨道BC间距离L．

Answer 1

分析 （1）由竖直面上圆周运动的临界值可求得小球在第一圆轨道上最高点的速度；再动能定理可求得下滑的高度；
（2）分别由向心力公式可求得BC两点的速度，再对BC过程由动能定理可求得BC的长度．

解答 解：（1）要使小车能通过第一圆轨道的最高点，则有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{2R}$
由动能定理可知：mgh-mg4R=$\frac{1}{2}$mv²；
解得：
h=5R；
（2）由向心力公式可得：
6mg-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{2R}$
6mg-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
对BC过程由动能定理可得：
-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：L=$\frac{2.5gR}{μ}$
答：（1）若要求小球能通过第一圆轨道最高点，则P点距水平轨道BC的高度h至少为5R；
（2）水平轨道BC间距离L为$\frac{2.5gR}{μ}$

点评 本题考查动能定理及向心力公式的应用，要注意正确分析物理过程，明确圆周运动临界值问题的掌握．