Question

2．我国新研制的液氧煤油发动机新型运载火箭长征六号，于太原卫星发射中心以一箭多星的方式成功发射20颗小卫星．假设其中有两颗卫星A、B轨道平面完全重合、且轨道都是圆形；A卫星运行周期为T₁，轨道半径为r₁，线速度为v₁；B卫星运行周期为T₂，轨道半径为r₂，线速度为v₂，且r₁＞r₂；地球自转周期为T₀，引力常量为G，下列说法正确的是（　　）

• A． 卫星A、B在轨道上运行时处于完全失重状态，不受任何力的作用
• B． A卫星的向心加速度为$\frac{{2π{v_1}}}{T_1}$
• C． 某一时刻卫星A、B在轨道上相距最近，从该时刻每经过$\frac{{{T_1}{T_2}}}{{{T_1}-{T_2}}}$时间，卫星A、B在轨道再次相距最近
• D． 地球的质量为$\frac{v_2^2r_2^3}{G}$

Answer 1

分析 A、卫星做匀速圆周运动，处于完全失重状态；
B、根据a=$\frac{{v}^{2}}{r}={ω}^{2}r=vω$求解向心加速度；
C、某一时刻卫星A、B在轨道上相距最近，从该时刻到下一次相距最近过程，卫星B多转动一圈；
D、对卫星B，利用万有引力等于向心力列式求解地球的质量．

解答 解：A、卫星A、B在轨道上运行时都是匀速圆周运动，处于完全失重状态，重力没有消失，只是提供向心力，故A错误；
B、对A卫星，线速度为v₁，角速度为${ω}_{1}=\frac{2π}{{T}_{1}}$，故向心加速度为${a}_{1}={v}_{1}{ω}_{1}={v}_{1}×\frac{2π}{{T}_{1}}$=$\frac{2π{v}_{1}}{{T}_{1}}$，故B正确；
C、某一时刻卫星A、B在轨道上相距最近，从该时刻到下一次相距最近过程，卫星B多转动一圈，故：
$2π=\frac{2π}{{T}_{2}}t-\frac{2π}{{T}_{1}}t$
解得：
t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$
故C正确；
D、对卫星B，万有引力提供向心力，故：
$G\frac{Mm}{{r}_{2}^{2}}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$ 
解得：M=$\frac{{v}_{2}^{2}{r}_{2}}{G}$
故D错误；
故选：BC

点评 本题是明确卫星的动力学原理，结合牛顿第二定律和万有引力定律列式求解；注意每当转动较快的卫星多转动一圈时，两个卫星的间距会周期性变化一次．