Question

2．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，
（1）求地球的质量M；
（2）我国自行研制的“神舟七号”载人飞船于2008年9月25日从中国酒泉卫星发射中心载人航天发射场用长征二号F火箭发射升空．假设“神舟七号”飞船进入预定轨道后绕地球做匀速圆周运动，运行的周期是T，结合题干中所给的已知量，求飞船绕地球飞行时离地面的高度h．

Answer 1

分析 对于在地面处质量为m的物体，根据万有引力等于重力求解地球的质量M；
飞船在轨道上飞行时，根据万有引力提供向心力求解飞船绕地球飞行时离地面的高度h．

解答 解：（1）设地球的质量为M，对于在地面处质量为m的物体有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg      ①
由①式解得：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
（2）设飞船的质量为m′，飞船在轨道上飞行时，根据万有引力提供向心力得
$\frac{GMm′}{{r}^{2}}$=m′$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，r=R+h        ②
由①③两式解得：h=$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R
答：（1）地球的质量为$\frac{{gR}^{2}}{G}$；
（2）飞船绕地球飞行时离地面的高度为$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R．

点评 万有引力的应用两点注意：（1）星球表面的重力和万有引力相等；（2）环绕天体受的万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力．注意轨道半径和距地面距离的关系．