Question

14．美国航空航天局2009年6月发射了“月球勘测轨道器”（LRO），LRO每天在离月球表面50km的高度穿越月球两极上空10次．若以T表示LRO在离月球表面高度h处的轨道上做匀速圆周运动的周期，以R表示月球的半径，则（　　）

• A． 月球表面的重力加速度为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$
• B． 月球表面的重力加速度为$\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
• C． LRO运行时的向心加速度为$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
• D． LRO运行时的向心加速度为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{2}}{{T}^{2}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力和月球表面重力加速度，根据向心加速度公式$a=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$求向心加速度．

解答 解：AB、根据万有引力等于重力得$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$①
根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$，得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$②
联立①②得$g=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$，故A正确，B错误；
CD、根据向心加速度公式$a=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，其中r为LRO匀速圆周运动的半径，r=R+h，所以LRO运行时的向心加速度为$a=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）}{{T}_{\;}^{2}}$，故C错误，D错误
故选：A

点评 万有引力与航天类的题目把握两点：（1）物体在星球上或在星球附近利用万有引力等于重力求解；（2）物体围绕星球做圆周运动，利用万有引力提供向心力求解．