Question

4．在光滑水平面上，有一个粗细均匀的单匝正方形闭合线框abcd，在水平外力的作用下，从静止开始沿垂直磁场边界方向做匀加速直线运动，穿过磁感应强度为B的有界匀强磁场，磁场区域的宽度大于线框边长，如图甲所示．测得线框中产生的感应电流i的大小和运动时间t的变化关系如图乙所示．
（1）若图乙中△t₁：△t₂：△t₃=2：2：1，求线框边长与磁场宽度的比值；
（2）若测得bc边刚进入磁场时线框的速度为v，b、c两点间电压为U，求△t₁（已知）时间内，线框中的平均感应电动势大小．

Answer 1

分析 （1）根据匀变速运动规律得到三个时间的位移关系，再根据几何条件联立求解即可；
（2）根据进入磁场时的路端电压得到线圈边长的表达式，然后根据楞次定律由磁通量的变化量求得平均感应电动势．

解答 解：（1）设线框边长为L，磁场宽度为d，线框运动的加速度为a，令△t₃=t，则△t₁=△t₂=2t，根据i-t图和运动学公式可得：
L=2vt+2at²，d=4vt+8at²，$L+d=5vt+\frac{25}{2}a{t}^{2}$；
所以，$vt=\frac{5}{2}a{t}^{2}$，$\frac{L}{d}=\frac{2vt+2a{t}^{2}}{4vt+8a{t}^{2}}=\frac{7a{t}^{2}}{18a{t}^{2}}=\frac{7}{18}$；
（2）bc边刚进入磁场时产生的感应电动势E=BLv，则由欧姆定律可得路端电压$U=\frac{3}{4}E=\frac{3BLv}{4}$；
所以，$L=\frac{4U}{3Bv}$；
根据法拉第电磁感应定律，有$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{B{L}^{2}}{△{t}_{1}}=\frac{16{U}^{2}}{9B{v}^{2}△{t}_{1}}$；
答：（1）若图乙中△t₁：△t₂：△t₃=2：2：1，则线框边长与磁场宽度的比值为$\frac{7}{18}$；
（2）若测得bc边刚进入磁场时线框的速度为v，b、c两点间电压为U，则△t₁（已知）时间内，线框中的平均感应电动势大小为$\frac{16{U}^{2}}{9B{v}^{2}△{t}_{1}}$．

点评 在闭合电路切割磁感线问题中，我们常通过楞次定律求得感应电流方向，并由闭合电路的欧姆定律求得电流大小．