Question

如图所示，水平细杆MN、CD，长度均为L。两杆间距离为h，M、C两端与半圆形细杆相连，半圆形细杆与MN、CD在同一竖直平面内，且MN、CD恰为半圆弧在M、C两点处的切线。质量为m的带正电的小球P，电荷量为q，穿在细杆上，已知小球P与两水平细杆间的动摩擦因数为μ，小球P与半圆形细杆之间的摩擦不计，小球P与细杆之间相互绝缘。

（1）若整个装置处在方向与之垂直、磁感应强度为B的匀强磁场中，如图（甲）所示。小球P以一定的初速度v₀从D端出发，沿杆滑到M点以后恰好在细杆MN上匀速运动。求：

①小球P在细杆MN上滑行的速度； 

②小球P滑过DC杆的过程中克服摩擦力所做的功；

（2）撤去磁场，在MD、NC连线的交点Ｏ处固定一电荷量为Q的负电荷，如图（乙）所示，使小球P从D端出发沿杆滑动，滑到N点时速度恰好为零。(已知小球所受库仑力始终小于重力)求：

①小球P在水平细杆MN或CD上滑动时所受摩擦力的最大值和最小值；

②小球P从D端出发时的初速度。

      

Answer 1

（1）①根据到M点以后恰好做匀速运动，可知小球P所受洛仑兹力与重力平衡，即，则

②根据动能定理，小球P在沿DCM滑动过程中：

 

 

（2）①小球在O点正下方时摩擦力最小，f_min＝mN_min＝m（mg－4kQq/h²），…2^’

   小球在O点正上方时摩擦力最大，f_max＝mN_max＝m（mg＋4kQq/h²）。…2^’

②利用对称性及微元法：DW_f＝m（mg－F_y）Ds＋m（mg＋F_y）Ds＝2mmgDs，

所以W_f＝DW₁＋DW₂＋¼¼＝2mmgL，

又因为小球P在D点和N点电势能相等，所以从D到N，

则mv₀²＝mgh＋2mmgL

v₀＝