Question

17．一人造地球卫星运行进入预订轨道后做匀速圆周运动，绕行周期为T，轨道半径为r，引力常量为G．
（1）求地球的质量M；
（2）若地球的半径为R，求地球表面的重力加速度g．

Answer 1

分析 （1）卫星绕地球圆周运动时万有引力提供圆周运动向心力，据此求得地球的质量M；
（2）根据万有引力和重力相等计算重力加速度的大小．

解答 解：（1）卫星绕地球圆周运动时，万有引力提供圆周运动向心力有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
依此解得地球的质量为：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）在地球表面由万有引力定律可得：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
联立解得g=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$
答：（1）地球的质量M是$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）地球表面的重力加速度g是$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．

点评 万有引力在天文学上的应用主要是根据万有引力提供圆周运动向心力来计算中心天体的质量，注意只能计算中心天体不能计算环绕天体的质量．