Question

6．宇航员到达某星球后，试图通过相关测量测量估测该星球的半径．他在该星球上取得一矿石，测得其质量为m₀，体积为v₀，重力为W，若所取矿石密度等于该星球平均密度，万有引力常量为G，该星球视为球形，请用以上物理量推导该星球半径的表达式．（球体体积公式为v=$\frac{4}{3}$πR³，式中R为球体半径）

Answer 1

分析 根据密度公式求得矿石的密度，再根据矿石的质量和重力求得星球表面的重力加速度，由重力和万有引力相等求得星球的半径．

解答 解：由题意矿石的密度为：
${ρ}_{0}=\frac{{m}_{0}}{{v}_{0}}$
该星球表面的重力加速度为：
$g=\frac{W}{{m}_{0}}$
在星球表面万有引力等于重力：
$G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}=mg$
该星球的平均密度为：
$ρ=\frac{M}{V}$
据题意：ρ=ρ₀，$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$
联立以上各式解得：
R=$\frac{3W{v}_{0}}{4πG{m}_{0}^{2}}$
答：该星球半径的表达式为：$\frac{3W{v}_{0}}{4πG{m}_{0}^{2}}$．

点评 解决天体运动问题有两种途径，一种是根据地球表面重力等于万有引力，另一种途径是根据卫星的万有引力提供向心力列方程求解．