题目内容
（2013?佛山一模）如图所示，倾斜轨道AB的倾角为37°，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑圆弧管道BC连接，CD右端与竖直光滑圆周轨道相连．小球可以从D进入该轨道，沿轨道内侧运动，从E滑出该轨道进入EF水平轨道．a、b为两完全相同的小球，a球由静止从A点释放，在C处与b球发生弹性碰撞．已知AB长为5R，CD长为R，重力加速度为g，小球与斜轨AB及水平轨道CD、EF的动摩擦因数均为0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，圆弧管道BC入口B与出口C的高度差为1.8R．求：（1）a球滑到斜面底端C时速度为多大？a、b球在C处碰后速度各为多少？
（2）要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R′应该满足什么条件？若R′=2.5R，两球最后所停位置距D（或E）多远？注：在运算中，根号中的数值无需算出．
分析：（1）a球从A运动至C过程，由动能定理列出等式，a、b球在C发生弹性碰撞，系统动量守恒，机械能守恒列出等式联立求解
（2）要使小球b脱离轨道，有两种情况：情况一：小球b能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．情况二：小球b上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D．由动能定理列出等式求解．由于a、b碰撞无能量损失，则由能量守恒定律求解．
（2）要使小球b脱离轨道，有两种情况：情况一：小球b能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．情况二：小球b上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D．由动能定理列出等式求解．由于a、b碰撞无能量损失，则由能量守恒定律求解．
解答：解：（1）设a球到达C点时速度为v，
a球从A运动至C过程，由动能定理有
mg(5Rsin370+1.8R)-μmgcos370?5R=
mv2 ①
可得 v=
②
a、b球在C发生弹性碰撞，系统动量守恒，机械能守恒，
设a、b碰后瞬间速度分别为va、vb，
则有mv=mva+mvb③
mv2=
mva2+
mvb2④
由②③④可得
va=0
vb=
⑤
可知，a、b碰后交换速度，a静止，b向右运动．
（2）要使小球b脱离轨道，有两种情况：
情况一：小球b能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．则小球b在最高点P应满足
m
≥mg⑥
小球b碰后直到P点过程，由动能定理，有
-μmgR-mg?2R′=
mvP2-
mvb2⑦
由⑤⑥⑦式，可得 R′≤
R=0.92R
情况二：小球b上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D．
则由动能定理有
-μmgR-mg?R′=0-
mvb2⑧
由⑤⑧式，可得 R′≥2.3R
若R′=2.5R，由上面分析可知，b球必定滑回D，设其能向左滑过DC轨道与a球碰撞，且a球到达B点，在B点的速度为vB，
由于a、b碰撞无能量损失，则由能量守恒定律有
mv2=
mvB2+mg?1.8R+2μmgR⑨
由⑤⑨式，可得 vB=0
故知，a球不能滑回倾斜轨道AB，a、b两球将在A、Q之间做往返运动，最终a球将停在C处，b球将停在CD轨道上的某处．
设b球在CD轨道上运动的总路程为S，由于a、b碰撞无能量损失，
则由能量守恒定律，有
mv2=μmgS⑩
由⑤⑩两式，可得 S=5.6R
所以知，b球将停在D点左侧，距D点0.6R处，a球停在D点左侧，距D点R处．
答：（1）a球滑到斜面底端C时速度为
，a、b球在C处碰后速度各为0和
．
（2）要使小球在运动过程中不脱离轨道，情况一：小球b能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．R′≤0.92R
小球b上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D，R′≥2.3R
b球将停在D点左侧，距D点0.6R处，a球停在D点左侧，距D点R处．
a球从A运动至C过程，由动能定理有
mg(5Rsin370+1.8R)-μmgcos370?5R=
| 1 |
| 2 |
可得 v=
| 5.6gR |
a、b球在C发生弹性碰撞，系统动量守恒，机械能守恒，
设a、b碰后瞬间速度分别为va、vb，
则有mv=mva+mvb③
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
由②③④可得
va=0
vb=
| 5.6gR |
可知，a、b碰后交换速度，a静止，b向右运动．
（2）要使小球b脱离轨道，有两种情况：
情况一：小球b能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．则小球b在最高点P应满足
m
| vP2 |
| R′ |
小球b碰后直到P点过程，由动能定理，有
-μmgR-mg?2R′=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
由⑤⑥⑦式，可得 R′≤
| 23 |
| 25 |
情况二：小球b上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D．
则由动能定理有
-μmgR-mg?R′=0-
| 1 |
| 2 |
由⑤⑧式，可得 R′≥2.3R
若R′=2.5R，由上面分析可知，b球必定滑回D，设其能向左滑过DC轨道与a球碰撞，且a球到达B点，在B点的速度为vB，
由于a、b碰撞无能量损失，则由能量守恒定律有
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
由⑤⑨式，可得 vB=0
故知，a球不能滑回倾斜轨道AB，a、b两球将在A、Q之间做往返运动，最终a球将停在C处，b球将停在CD轨道上的某处．
设b球在CD轨道上运动的总路程为S，由于a、b碰撞无能量损失，
则由能量守恒定律，有
| 1 |
| 2 |
由⑤⑩两式，可得 S=5.6R
所以知，b球将停在D点左侧，距D点0.6R处，a球停在D点左侧，距D点R处．
答：（1）a球滑到斜面底端C时速度为
| 5.6gR |
| 5.6gR |
（2）要使小球在运动过程中不脱离轨道，情况一：小球b能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．R′≤0.92R
小球b上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D，R′≥2.3R
b球将停在D点左侧，距D点0.6R处，a球停在D点左侧，距D点R处．
点评：此题要求熟练掌握动能定理、系统动量守恒、能量守恒定律、圆周运动等规律，包含知识点多，难度较大，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
（2013?佛山一模）在竖直方向的匀强磁场中，水平放置一圆形导体环．规定如图1所示的电流i及磁场B方向为正方向．当用磁场传感器测得磁感应强度随时间变化如图2所示时，导体环中感应电流随时间变化的情况是（ ）
（2013?佛山一模）在如图所示的电路中，开关闭合后，灯泡L能正常发光．当滑动变阻器的滑片向右移动时，下列判断正确的是（ ）
（2013?佛山一模）如果你站在超市的斜面式自动扶梯（无阶梯，如图所示）上随扶梯匀速上行，则下列相关说法正确的是（ ）