Question

（ 25分）如图预18－7所示，在半径为的圆柱空间中（图中圆为其横截面）充满磁感应强度大小为的均匀磁场，其方向平行于轴线远离读者．在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放置一绝缘材料制成的边长为的刚性等边三角形框架，其中心位于圆柱的轴线上．边上点（）处有一发射带电粒子的源，发射粒子的方向皆在图预18-7中截面内且垂直于边向下．发射粒子的电量皆为（＞0），质量皆为，但速度有各种不同的数值．若这些粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰撞，并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边．试问：

1．带电粒子速度的大小取哪些数值时可使点发出的粒子最终又回到点？

2. 这些粒子中，回到点所用的最短时间是多少？

Answer 1

参考解答

带电粒子（以下简称粒子）从点垂直于边以速度射出后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其圆心一定位于边上，其半径可由下式

　

求得，为

　 （1）

1. 要求此粒子每次与的三条边碰撞时都与边垂直，且能回到点，则和应满足以下条件：

（ⅰ）与边垂直的条件．

由于碰撞时速度与边垂直，粒子运动轨迹圆的圆心一定位于的边上，粒子绕过顶点、、时的圆弧的圆心就一定要在相邻边的交点（即、、）上．粒子从点开始向右作圆周运动，其轨迹为一系列半径为的半圆，在边上最后一次的碰撞点与点的距离应为，所以的长度应是的奇数倍。粒子从边绕过点转回到点时，情况类似，即的长度也应是轨道半径的奇数倍．取，则当的长度被奇数除所得的也满足要求，即

　 　＝1，2，3，…

因此为使粒子与各边发生垂直碰撞，必须满足下面的条件

　 （2）

此时 　

为的奇数倍的条件自然满足．只要粒子绕过点与边相碰，由对称关系可知，以后的碰撞都能与的边垂直．

（ⅱ）粒子能绕过顶点与的边相碰的条件．

由于磁场局限于半径为的圆柱范围内，如果粒子在绕点运动时圆轨迹与磁场边界相交，它将在相交点处以此时的速度方向沿直线运动而不能返回．所以粒子作圆周运动的半径不能太大，由图预解18-7可见，必须（的顶点沿圆柱半径到磁场边界的距离，时，粒子圆运动轨迹与圆柱磁场边界相切），由给定的数据可算得

　 　（3）

将1，2，3，…，分别代入（2）式，得

　

　

　

　

由于，，≥，这些粒子在绕过的顶点时，将从磁场边界逸出，只有≥4的粒子能经多次碰撞绕过、、点，最终回到点．由此结论及（1）、（2）两式可得与之相应的速度

　 　（4）

这就是由点发出的粒子与的三条边垂直碰撞并最终又回到点时，其速度大小必须满足的条件

．

2. 这些粒子在磁场中做圆周运动的周期为

将（1）式代入，得

（5）

可见在及给定时与无关。粒子从点出发最后回到点的过程中，与的边碰撞次数愈少，所经历的时间就愈少，所以应取，如图预解18-7所示（图中只画出在边框的碰撞情况），此时粒子的速度为，由图可看出该粒子的轨迹包括3×13个半圆和3个圆心角为300?的圆弧，所需时间为

　 （6）

以（5）式代入得

　 　（7）