Question

13．一颗质量为m的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星到地心的距离为r，已知引力常量G、地球半径为R、地球表面重力加速度为g，不考虑球地球自转的影响．求：
（1）地球质量大小．
（2）地球对卫星的万有引力的大小；
（3）卫星的动能大小．

Answer 1

分析 （1）在地球表面重力与万有引力相等由重力加速度和地球半径及引力常量求得地球质量；
（2）根据万有引力公式计算地球对卫星的引力大小；
（3）根据万有引力提供圆周运动向心力求得卫星的线速度，再根据动能表达式求得卫星动能的大小．

解答 解：（1）在地球表面重力与万有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得地球质量为：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）地球对卫星的万有引力为：
F=$G\frac{mM}{{r}^{2}}$=$\frac{mg{R}^{2}}{{r}^{2}}$
（3）卫星圆周运动向心力由万有引力提供有：
$F=m\frac{{v}^{2}}{r}$
所以卫星的动能为：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{Fr}{2}$=$\frac{mg{R}^{2}}{2r}$
答：（1）地球质量大小为$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）地球对卫星的万有引力的大小为$\frac{mg{R}^{2}}{{r}^{2}}$；
（3）卫星的动能大小为$\frac{mg{R}^{2}}{2r}$．

点评 万有引力应用问题主要是建立两类模型：一是星球表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供圆周运动向心力．