Question

12．如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使它在瞬间得到一个水平初速度v₀，v₀大小不同则小球能够上升到的最大高度（距离底部）H也不同．下列说法中正确的是（　　）

• A． v₀=$\sqrt{gR}$时，H=$\frac{R}{2}$
• B． v₀=$\sqrt{3gR}$时，H=$\frac{3R}{2}$
• C． v₀=$\sqrt{4gR}$时，H=2R
• D． v₀=$\sqrt{5gR}$时，H=2R

Answer 1

分析 先根据机械能守恒定律求出在此初速度下能上升的最大高度，再根据向心力公式判断在此位置速度能否等于零即可求解．

解答 解：A、当v₀=$\sqrt{gR}$时，根据机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}$mv₀²=mgh，解得h=$\frac{R}{2}$，即小球上升到高度为$\frac{R}{2}$时速度为零，所以小球能够上升的最大高度为$\frac{R}{2}$，故A正确；
B、设小球恰好运动到圆轨道最高点时，在最低点的速度为v₁，在最高点的速度为v₂，则在最高点，有mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$从最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律得：2mgR+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₁²解得 v₁=$\sqrt{5gR}$所以v₀＜$\sqrt{5gR}$时，在小球不能上升到圆轨道的最高点，会脱离轨道最高点的速度不为零，根据$\frac{1}{2}$mv₀²=mgh+$\frac{1}{2}$mv^′2，知最大高度 h＜$\frac{3R}{2}$，故B错误；
CD、由上分析知，当v₀=$\sqrt{5gR}$时，上升的最大高度为2R，设小球恰好能运动到与圆心等高处时在最低点的速度为v，则根据机械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv²，解得v=$\sqrt{2gR}$，因为$\sqrt{2gR}$＜$\sqrt{4gR}$＜$\sqrt{5gR}$，在小球不能上升到圆轨道的最高点，会脱离轨道，则小球能够上升的最大高度小于2R，故C错误，D正确．
故选：AD．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律在圆周运动中的运用，要判断在竖直方向圆周运动中哪些位置速度可以等于零，哪些位置速度不可以等于零．要明确最高点临界速度的求法：重力等于向心力．