Question

7．半径为R的光滑大圆环在竖直平面内固定，质量为m的小圆环套在大圆环上．A是大圆环的最高点，B点与大圆环的圆心O点等高，C是大圆环的最低点．现将小环置于A点，给小环一个方向向右的轻微扰动，使小环由静止开始向右边滑下，下列判断正确的是（　　）

• A． 小圆环自A点下落$\frac{R}{3}$高度时与圆环之间的弹力为零
• B． 小圆环自A点下落$\frac{2R}{3}$高度时与圆环之间的弹力为零
• C． 小圆环运动到B点时与圆环之间的弹力为2mg
• D． 小圆环运动到C点时与圆环之间的弹力为5mg

Answer 1

分析 小圆环在下落中只有重力做功，故机械能守恒，分别对各点由机械能守恒列式，再根据向心力公式即可求得两环间的相互作用力．

解答 解：A、小圆环自A点下落$\frac{R}{3}$高度时，根据机械能守恒定律可知，mg$\frac{R}{3}$=$\frac{1}{2}$mv²，解得v=$\sqrt{\frac{2gR}{3}}$，将重力分解为切线方向和径向方向，如图所示，则向心力公式可知，mgcosα-T=m$\frac{{v}^{2}}{r}$； 由几何关系可知，cosα=$\frac{\frac{2}{3}R}{R}$=$\frac{2}{3}$，联立可得，T=0，故说明此时小圆环与圆环间没有弹力，故A正确；
B、小圆环自A点下落$\frac{2R}{3}$高度时此时重力向下，而根据向心力公式可得，合外力一定指向圆心，则说明一定有弹力存在，故B错误；
C、根据机械能守恒可知，到达B点时有：mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²；根据向心力公式可得F=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得：F=2mg，故C正确；
D、根据机械能守恒可知，到达B点时有：2mgR=$\frac{1}{2}$mv_C²；根据向心力公式可得F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，解得：F=5mg，故D正确；
故选：ACD．

点评 本题考查机械能守恒定律与向心力公式的结合题目，要注意正确分析受力和运动过程，明确圆环对小圆环不做功，故机械能守恒．