Question

12．2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射．飞船在绕地球飞行5 圈后进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道，已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g．求：
（1）飞船在上述圆形轨道上运行的速度v；
（2）飞船在上述圆形轨道上运行的周期T．

Answer 1

分析 在地球表面，重力和万有引力相等，神舟五号飞船轨道上，万有引力提供飞船做圆周运动的向心力．

解答 解：（1）地球质量为M，飞船质量为m
对卫星有：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{v^2}{（R+h）}$①
而对地球表面的物体m₁有：$\frac{{GM{m_1}}}{R^2}={m_1}g$②
联解①②得$v=\sqrt{\frac{{g{R^2}}}{（R+h）}}$
（2）根据周期与线速度的关系：$T=\frac{2π（R+h）}{v}$
$T=\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{（R+h）}{g}}$
答：（1）飞船在上述圆形轨道上运行的速度v为$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$；
（2）飞船在上述圆形轨道上运行的周期T为$\frac{2π（R+h）}{R}$$\sqrt{\frac{R+h}{g}}$．

点评 万有引力的应用两点注意：（1）星球表面的重力和万有引力相等；（2）环绕天体受的万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力．注意轨道半径和距地面距离的关系．