Question

4．滑板运动是青少年喜爱的一项活动．如图所示，滑板运动员以某一初速度从A点水平离开h=0.8m高的平台，运动员（连同滑板）恰好能无碰撞的从B点沿圆弧切线进入竖直光滑圆弧轨道，然后经C点沿固定斜面向上运动至最高点D，B、C为圆弧的两端点，其连线水平，轨道半径R=1.0m，圆弧对应圆心角θ=106°，E为圆弧的最低点，斜面与圆弧相切于C点．已知滑板与斜面间的动摩擦因数为μ=$\frac{1}{3}$，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力，运动员（连同滑板），可视为质点，其质量m=1kg．求：
（1）运动员（连同滑板）离开平台时的初速度υ₀；
（2）小物块经过轨道最低点E时对轨道的压力；
（3）运动员（连同滑板）在斜面上滑行的最大距离．

Answer 1

分析 （1）从A至B的过程中，人做的是平抛运动，根据平抛运动的规律可以求出开始平抛时初速度的大小；
（2）运动员在圆弧轨道做圆周运动，在最低点时，对人受力分析，根据牛顿第二定律和向心力的公式可以求得人对轨道的压力的大小；
（3）在斜面上时，对人受力分析，找出对人做功的有几个力，根据动能定理可以求得在斜面上滑行的最大距离．

解答 解：（1）运动员离开平台后从A至B的过程中，
在竖直方向有：v_y²=2gh…①
在B点有：${v_y}={v_0}tan\frac{θ}{2}$…②
由①②得：v₀=3m/s…③
（2）运动员在圆弧轨道做圆周运动，由牛顿第二定律可得：
$N-mg=m\frac{v^2}{R}$…④
由机械能守恒得：$\frac{1}{2}mv_0^2+mg[h+R（1-cos{53°}）]=\frac{1}{2}m{v^2}$…⑤
联立③④⑤解得：N=43N．
由牛顿第三定律可求得经过轨道最低点E时对轨道的压力为43N；
（3）运动员从A至C过程有：$mgh=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_0^2$…⑥
运动员从C至D过程有：$mgLsin\frac{θ}{2}+μmgLcos\frac{θ}{2}=\frac{1}{2}mv_C^2$…⑦
由③⑥⑦解得：L=1.25m．
答：（1）运动员（连同滑板）离开平台时的初速度v₀为3m/s；
（2）运动员（连同滑板）通过圆弧轨道最底点对轨道的压力为43N；
（3）运动员（连同滑板）在斜面上滑行的最大距离为1.25m．

点评 本题是一个综合性较强的题目，在题目中人先做的是平抛运动，然后再圆轨道内做的是圆周运动，最后运动到斜面上时，由于有摩擦力的作用，机械能不守恒了，此时可以用动能定理来计算运动的距离的大小．整个题目中力学部分的重点的内容在本题中都出现了，本题是一道考查学生能力的好题．