Question

20．质量分别为m₁和m₂的两个小球叠放在一起，从高度为h处自由落下，如图所示．已知h远大于两球半径，所有的碰撞都是完全弹性碰撞，且都发生在竖直方向上．若碰撞后m₂恰处于平衡状态，求
（1）两个小球的质量之比m₁：m₂；
（2）小球m₁上升的最大高度．

Answer 1

分析 下降过程为自由落体运动，触地时两球速度相同，但m₂碰撞地之后，速度瞬间反向，大小相等，而m₁也会与m₂碰撞，选m₁与m₂碰撞过程为研究过程，碰撞前后动量守恒，能量守恒，列方程解得m₁速度，之后m₁做竖直上抛运动，由动能定理或运动学公式求解反弹高度．

解答 解：下降过程为自由落体运动，由匀变速直线运动的速度位移公式得：
v²=2gh，
解得触地时两球速度相同，为：v=$\sqrt{2gh}$；
m₂碰撞地之后，速度瞬间反向，大小相等，选m₁与m₂碰撞过程为研究过程，碰撞前后动量守恒，设碰后m₁、m₂速度大小分别为v₁、v₂，选向上方向为正方向，由动量守恒定律得：
m₂v-m₁v=m₁v₁+m₂v₂，
由能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²，
由题可知：m₂=3m₁，即$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{1}{3}$
联立解得：v₁=2$\sqrt{2gh}$，
反弹后高度为：H=$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2g}$=4h；
答：（1）两个小球的质量之比m₁：m₂为1：3；（2）小球m₁上升的最大高度为4h．

点评 本题首先要分析清楚两球的运动过程，知道完全弹性碰撞过程中，动量守恒，机械能也守恒，选准合适的作用过程，应用动量守恒定律和能量守恒定律列方程解决，有一定难度．