Question

5．如图所示，半径为R的竖直光滑半圆轨道BC与水平轨道AB相切于B，AB长s_AB=1m，离水平地面h=1.6m．一质量m=2kg的滑块，以速度v₀=4m/s从A点向右运动，经B点滑上半圆轨道．已知滑块与AB间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s²．
（1）求滑块在平台上从A到B的运动时间t（结果可保留根式）；
（2）若滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，求R应满足的条件；
（3）若R=0.9m，求滑块在地面上的落点到平台左侧的水平距离x．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，结合位移时间公式求出滑块在平台A到B的时间．
（2）滑块不脱离圆轨道，有两种情况，一种情况是通过最高点，一种情况滑动半圆弧一半高度不再上滑，结合临界条件，运用动能定理求出半径的临界值，从而得出半径的范围．
（3）若R=0.9m，滑块从圆轨道返回，由动能定理得出返回A点的速度，根据平抛运动的规律求出水平位移．

解答 解：（1）由运动学公式有：${s}_{AB}={v}_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
由牛顿第二定律得：μmg=ma，
联立代入数据解得：t=$（2-\sqrt{3}）s$．
（2）①若滑块恰好运动到半圆轨道的最高点，有：mg=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
由动能定理得：$-μmg{s}_{AB}-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入数据解得：R=0.24m．
②若滑块恰好滑到半圆弧一半高度时不再上滑，有：$-μmg{s}_{AB}-mgR=0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入数据解得：R=0.6m．
综上所述，R应满足：R≤0.24m或R≥0.6m．
（3）R=0.9m＞0.6m，滑块从圆轨道返回，由动能定理得，
$-2μmg{s}_{AB}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入数据解得：${v}_{2}=2\sqrt{2}m/s$，
滑块从A点水平抛出，有：x=v₂t₁，h=$\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$，
代入数据解得：x=1.6m．
答：（1）滑块在平台上从A到B的运动时间t为（2-$\sqrt{3}$）s；
（2）若滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，R应满足的条件为R≤0.24m或R≥0.6m．；
（3）若R=0.9m，滑块在地面上的落点到平台左侧的水平距离x为1.6m．

点评 本题考查了动能定理与圆周运动和平抛运动的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解题的关键．