Question

11．如图所示，光滑$\frac{1}{4}$圆弧轨道与长为L=4.84m的水平传送带BC相切于B，传送带以v=2m/s的速度匀速向右传动．一质量为m=2kg的小滑块从轨道最高点A由静止开始释放．整个装置放在风洞实验室中，小滑块始终受到大小为F=6N、水平向左的恒定风力的作用．当小滑块运动到B点时的速度大小为v₀=6m/s，当它滑过B后，立即将圆弧轨道撤去．已知滑块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.1，取重力加速度g=10m/s²．
（1）求圆弧轨道的半径和小滑块经过B点时对轨道的压力大小；
（2）小滑块最终从哪边离开传送带？求它在传送带上运动的总时间；
（3）求滑块在传送带上运动的过程中，系统产生的摩擦热量．

Answer 1

分析 （1）物块从A运动到B利用动能定理求半径，在b点，根据牛顿第二定律和第三定律求压力；
（2）物块滑上传送带的速度为6m/s，大于传送带的速度，此时摩擦力向左，先做匀减速直线运动；达到共同速度后，摩擦力向右，且F＞μmg，继续做匀减速运动，根据牛顿第二定律和速度时间、位移时间公式联立求解；
（3）根据Q=f•△S求解摩擦产生的热量．

解答 解：（1）物块从A运动到B根据动能定理得：$mgR-FR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
代入数据解得：$R=\frac{18}{7}m$
在B点：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
代入数据得：F_N=48N
由牛顿第三定律得：小滑块经过B点时对轨道的压力大小为；F_N′=48N
（2）物块滑上传送带的速度为6m/s，大于传送带的速度，所以先做匀减速直线运动
由牛顿第二定律得滑块的加速度为：${a}_{1}=\frac{F+μmg}{m}=\frac{6+0.1×2×10}{2}m/{s}^{2}=4m/{s}^{2}$
根据速度时间公式v=v₀+at，
从到达B点到与皮带达到共同速度所用时间为：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}-v}{{a}_{1}}=\frac{6-2}{4}s=1s$
在此期间滑块的位移为：${x}_{1}=\frac{1}{2}（{v}_{0}+v）{t}_{1}=4m＜4.84m$
之后滑块继续做匀减速运动，由牛顿第二定律得滑块的加速度为：${a}_{2}=\frac{F-μmg}{m}=\frac{6-2×0.1×10}{2}m/{s}^{2}=2m/{s}^{2}$
减速至零所用时间为：${t}_{2}=\frac{v}{{a}_{2}}=\frac{2}{2}s=1s$
物块滑行距离为：${x}_{2}=\frac{v}{2}{t}_{2}=\frac{2}{2}×1m=1m＞4.84-4m=0.84m$
所以物块速度还未减为零已经从C端离开．
设第二阶段滑行时间为t₃
根据$x={v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：
$L-{x}_{1}=v{t}_{3}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{3}}^{2}$
代入数据解得：t₃=0.6s或t₃=1.4s（舍去）
所用总时间为：t=t₁+t₃=1+0.6s=1.6s
（3）第一阶段相对位移为：△x₁=x₁-vt₁=4-2×1m=2m
第二阶段相对位移为：△x₂=vt₂-（L-x₁）=2×0.6-（4.84-4）m=0.36m
系统产生的摩擦热量：：Q=μmg（△x₁+△x₂）=0.1×2×10×（2+0.36）J=4.72J
答：（1）求圆弧轨道的半径为$\frac{18}{7}m$，小滑块经过B点时对轨道的压力大小为48N；
（2）小滑块最终从C端离开传送带，它在传送带上运动的总时间为1.6s；
（3）系统产生的摩擦热量为4.72J．

点评 解决本题的关键理清物体的运动过程，知道物体的运动规律，结合动能定理、牛顿第二定律和运动学公式进行求解．根据Q=f•△S列式求解系统因摩擦产生的热量．