Question

10．如图所示，在xOy平面上的某圆形区域内，存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强大小为B．一电荷量为+q、质量为m的带电粒子，由原点O开始沿x正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场．后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，已知P到O的距离为L，不计重力的影响．
（1）若磁场区域的大小可根据需要而改变，试求粒子速度的最大可能值；
（2）若粒子速度大小为v=$\frac{qBL}{6m}$，试求该圆形磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 初、末速度所在直线必定与粒子的轨迹圆相切，轨迹圆圆心到两条直线的距离（即轨道半径）相等，因此，圆心必位于初、末速度延长线形成的角平分线QC上（如图甲）；在角平分线QC上取不同的点为圆心，由小到大作出一系列轨迹圆（如图乙），其中以C点为圆心轨迹①是可能的轨迹圆中半径最大的，其对应的粒子速度也最大；

解答 解：（1）过P点作末速度所在直线，交x轴与Q点，经分析可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹的圆心必在∠OPQ的角平分线QC上，如图甲所示，

设粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为r，则由牛顿第二定律有
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
则$r=\frac{mv}{qB}$…①
由此可知粒子速度越大，其轨道半径越大，由图乙可知，速度最大的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是y轴上的C点．如图丙所示，

速度最大时粒子的轨迹圆过O点，且与PQ相切与A点．
由几何关系有OQ=Ltan30°          ${r}_{1}^{\;}=OQtan30°$
可得${r}_{1}^{\;}=\frac{L}{3}$…②
由①②求得：$v=\frac{qBL}{3m}$
（2）将$v=\frac{qBL}{6m}$代入①式，可得${r}_{2}^{\;}=\frac{L}{6}$，粒子运动轨迹是如图丁所示的轨迹圆②，

该轨迹圆与x轴相切于D点，与PQ相切于E点，连接DE，由几何关系可知：
$DE=\sqrt{3}{r}_{2}^{\;}$
由于D、E点必在磁场内，故可知磁场面积最小时必定是以DE为直径（如图丁中③所示），即面积最小的磁场半径为：
$R=\frac{1}{2}DE$
则磁场的最小面积为：$s=π{R}_{\;}^{2}=π（\frac{\sqrt{3}}{12}L）_{\;}^{2}=\frac{π{L}_{\;}^{2}}{48}$
答：（1）若磁场区域的大小可根据需要而改变，粒子速度的最大可能值$\frac{qBL}{3m}$；
（2）若粒子速度大小为v=$\frac{qBL}{6m}$，该圆形磁场区域的最小面积$\frac{π{L}_{\;}^{2}}{48}$

点评 本题考查了带电粒子在磁场中的匀速圆周运动，对数学的几何能力要求较高，关键画出粒子的轨迹图，结合牛顿第二定律以及向心力等知识进行求解．