Question

4．如图所示，一对竖直放置的平行正对金属板A、B构成电容器，电容为C．电容器的A板接地，且中间有一个小孔S．一个被灯丝加热的阴极K与S位于同一水平线，从阴极上可以不断地发射出电子，电子经过电压U₀．加速后通过小孔S沿水平方向射入A、B两极板间．设电子的质量为m，电荷量为e，电子从阴极发射时的初速度可忽略不计，如果到达B板的电子都被B板吸收，且单位时间内射入电容器的电子个数为n，随着电子的射入，两极板间的电势差逐渐增加，致使最终电子无法到达B板．求：
（1）第一个到达B板的电子其速度的大小；
（2）当B板吸收了N个电子时，A、B两板间的电势差；
（3）从电子射入小孔开始到A、B两板间的电势差达到最大值所经历的时间．

Answer 1

分析 （1）第一个到达B板的电子在运动过程中，只有KA间的电场力做功，根据动能定理求出其到达B板的速度大小．
（2）当B板吸收了N个电子时电容器所带电荷量为Q=Ne，由电容的定义式C=$\frac{Q}{U}$，求A、B两板间的电势差．
（3）电子经过U₀的电压加速后，进入A、B板间的动能为eU₀，进入A、B板间电场后做减速运动．随着B板电荷增加，电子在A、B间的加速度越来越大，直至电子到达B板的速度为零，此时A、B板间的电势差达到最大值U_m根据动能定理求解U_m．再由C=$\frac{Q}{U}$，Q=net结合求

解答 解：（1）对于第一个到达B板的电子，根据动能定理得：
eU₀=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
则得：v=$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$
即第一个到达B板的电子其速度的大小为$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$．
（2）当B板吸收了N个电子时，电容器所带电荷量为 Q=Ne，根据电容的定义 C=$\frac{Q}{U}$，得此时A、B两板间的电势差为：U=$\frac{Ne}{C}$．
（3）电子经过U₀的电压加速后，进入A、B板间的动能为eU₀，进入A、B板间电场后做减速运动．随着B板电荷增加，电子在A、B间的加速度越来越大，直至电子到达B板的速度为零，此时A、B板间的电势差达到最大值U_m，
对于加速和减速的整个过程，根据动能定理得：eU₀-eU_m=0
得：U_m=U₀
设从电子进入A、B板间，直到板间电压达到最大值U_m，经过的时间为t，则B板吸收的总电荷为：
Q=net，
最大电量为：
Q=CU_m=CU₀，
可以得出：t=$\frac{C{U}_{0}}{ne}$　
答：（1）第一个到达B板的电子其速度的大小为$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$；
（2）当B板吸收了N个电子时，A、B两板间的电势差是$\frac{Ne}{C}$；
（3）从电子射入小孔开始到A、B两板间的电势差达到最大值所经历的时间是$\frac{C{U}_{0}}{ne}$．

点评 本题是带电粒子在电场中直线加速和减速与电容器有关知识的综合，关键要掌握电容的定义式C=$\frac{Q}{U}$，并运用动能定理求解．