Question

2．已知地球的半径为R，地球卫星A的圆轨道半径为2R，卫星B的圆轨道半径为$\sqrt{2}$R，两卫星均在地球赤道的正上方，两卫星运动方向与地球自转方向相同，已知地球表面的重力加速度大小为g，试求：
（1）两卫星做圆周运动的周期T_A和T_B；
（2）卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔（信号传输时间可忽略）．

Answer 1

分析 （1）人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律和万有引力定律求解卫星的周期．
（2）两卫星绕地球做匀速圆周运动，由于地球的遮挡，使卫星A、B不能直接通讯，作图找出空间的位置关系，根据几何知识和速度公式列式计算．

解答 解：（1）对于轨道半径为r的卫星，由万有引力提供向心力有：
  G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²r
在地球表面上，有 m′g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$
联立解得 T=$\frac{2πr}{R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$
所以有 T_A=4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，T_B=2$\sqrt{2}$π$\sqrt{\frac{\sqrt{2}R}{g}}$=2π$\sqrt{\frac{2\sqrt{2}R}{g}}$
（2）卫星间的通讯信号视为沿直线传播，由于地球的遮挡，使卫星A、B不能直接通讯，如图所示，设遮挡的时间为t，则有它们转过的角度之差为θ时就不能通讯，则有：
  $\frac{2π}{{T}_{B}}$t-$\frac{2π}{{T}_{A}}$t=θ
又根据几何关系可得：sinα=$\frac{R}{\sqrt{2}R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinβ=$\frac{R}{2R}$=$\frac{1}{2}$
可得 α=$\frac{π}{4}$，β=$\frac{π}{6}$
而：θ=2（α+β）
由以上各式可解得 t=$\frac{10π}{3（2\sqrt{\sqrt{2}-1}）}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$
答：
（1）两卫星做圆周运动的周期T_A和T_B分别为4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$和2π$\sqrt{\frac{2\sqrt{2}R}{g}}$．
（2）卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔是$\frac{10π}{3（2\sqrt{\sqrt{2}-1}）}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$．

点评 本题主要考查了万有引力定律的应用和空间想象能力问题，要作图找出空间的位置关系，这是解题的关键．同时，对于卫星问题，要掌握基本的思路：万有引力等于向心力．