Question

如图所示，间距为L=0.45m的带电金属板M、N竖直固定在绝缘平面上，板间形成匀强电场，场强E=1.5×10⁴V/m．N板接地（电势为零），其中央有一小孔，一根水平绝缘细杆通过小孔，其左端固定在极板M上．现有一质量m=0.05kg，带电量q=+5.0×10^-6C的带正电小环套在细杆上，小环与细杆之间的动摩擦因数为μ=0.1．小环以一定的初速度对准小孔向左运动，若小环与金属板M发生碰撞，碰撞中能量不损失（即碰后瞬间速度大小不变）．设带电环大小不计且不影响金属板间电场的分布（g取10m/s²）．求：
（1）带电小环以多大的初速度v₀进入电场，才能恰好到达金属板M？
（2）若带电小环以初速度v₁=1m/s进入电场，当其动能等于电势能时，距离N板多远？
（3）小环至少以多大的初速度v₂进入电场，它在电场中运动时找不到动能与电势能相等的点？

Answer 1

分析：（1）小环进入电场后，在电场力与摩擦力共同作用下减速直到M板，速度变为零，根据动能定理即可求得初速度；
（2）带电小环以初速度v₁=1m/s进入电场后先向左作减速运动，当其动能等于电势能时，设它距离N板为x，根据动能定理即可求得x，还有一种情况，当小环运动到左边最远点并向右返回到小孔的过程中，也可能会出现动能等于电势能．设它向左运动的最远距离为d，根据动能定理即可求解；
（3）小环以初速度v₂进入电场后，若它运动到M板时的动能大于其电势能，则它在电场中运动时找不到动能与电势能相等的点．

解答：解：（1）小环进入电场后，在电场力与摩擦力共同作用下减速直到M板，速度变为零，根据动能定理，有-qEL-μmgL=0-

1

2

mv02
得v0=

2(qE+μmg)L m

=

2(5.0×10-6×1.5×104+0.1×0.05×10)×0.45 0.05

m/s=1.5m/s
（2）带电小环以初速度v₁=1m/s进入电场后先向左作减速运动，当其动能等于电势能时，设它距离N板为x，有

1

2

mv02-qEx-μmgx=qEx
解得x=

mv02

4qE+2μmg

=

0.05×12

4×5.0×10-6×1.5×104+2×0.1×0.05×10

m=0.125m
还有一种情况，当小环运动到左边最远点并向右返回到小孔的过程中，也可能会出现动能等于电势能．设它向左运动的最远距离为d，根据动能定理，有-qEd-μmgd=0-

1

2

mv12
解得d=

mv12

2(qE+μmg)

=

0.05×12

2×(5.0×10-6×1.5×104+0.1×0.05×10)

m=0.2m
当其动能等于电势能时，设它距离N板为y，有qE（d-y）-μmg（d-y）=qEy
解得y=

(qE-μmg)d

2qE-μmg

=

(5.0×10-6×1.5×104-0.1×0.05×10)×0.2

2×5.0×10-6×1.5×104-0.1×0.05×10

m=0.05m
（3）小环以初速度v₂进入电场后，若它运动到M板时的动能大于其电势能，则它在电场中运动时找不到动能与电势能相等的点，有

1

2

mv22-(qE+μmg)L＞qEL
得

v2＞ 2(2qE+μmg)L m = 2(2×5.0×10-6×1.5×104+0.1×0.05×10)×0.45 0.05 /s= 3.6 m/s ≈1.9m/s

答：（1）带电小环以初速度1.5m/s进入电场，才能恰好到达金属板M；
（2）若带电小环以初速度v₁=1m/s进入电场，当其动能等于电势能时，距离N板的距离为0.125m或0.05m；
（3）小环至少以1.9m/s的初速度进入电场，它在电场中运动时找不到动能与电势能相等的点．

点评：本题主要考查了动能定理在带电离子电场中运动的应用，要求同学们能选取适当的过程运用动能定理解题，难度适中．