Question

17．如图所示，一小球从半径为R的固定半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点）飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O为半圆轨道圆心，OB与水平方向夹角为45°，重力加速度为g，关于小球的运动，以下说法正确的是（　　）

• A． 小球自抛出点至B点的过程中重力做功为$\frac{\sqrt{2}+2}{4}$mgR
• B． 小球自抛出点至B点的水平射程为$\frac{3}{2}$R
• C． 小球抛出的初速度为$\sqrt{2gR}$
• D． 抛出点与B点的距离为2R

Answer 1

分析 由几何知识求解水平射程．根据平抛运动速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍，求出竖直方向上的位移，即可求得重力做功，求出竖直方向上的分速度，根据速度方向求出平抛运动的初速度．

解答 解：B、由几何知识可得，小球自抛出至B点的水平射程为 x=R+Rcos40°=$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$R．故B错误．
A、小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，经过B点时速度与水平方向的夹角为45°．
则tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
设位移与水平方向的夹角为θ，则tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{{v}_{y}}{2}t}{{v}_{0}t}$=$\frac{{v}_{y}}{2{v}_{0}}$=$\frac{1}{2}$
可得竖直位移 y=$\frac{1}{2}$x=$\frac{\sqrt{2}+2}{4}$R，所以小球自抛出点至B点的过程中重力做功 W_G=mgy=$\frac{\sqrt{2}+2}{4}$mgR，故A正确．
C、由${v}_{y}^{2}$=2gy，得 v_y=$\sqrt{2gy}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{2}+2}{2}gR}$
由上得知，v₀=v_y=$\sqrt{\frac{\sqrt{2}+2}{2}gR}$．故C错误．
D、抛出点与B点的距离为 S=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}+2\sqrt{5}}{4}$R，故D错误．
故选：A

点评 解决本题的关键掌握平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，抓住速度方向，结合位移关系、速度关系进行求解．