Question

8．如图所示，ab是半径为1m的$\frac{1}{4}$圆弧形金属导轨，现竖直固定；O_a是一根质量不计，电阻为0.1Ω的金属杆，可绕固定点O转动；在a端固定一个质量为0.1kg的金属小球，球与各轨道始终保持良好且无摩擦的接触，O_b是电阻为0.1Ω的导线；整个装置放在B=1.0T、方向与圆环平面垂直的水平匀强磁场中，当杆O_a由静止开始从a滑至b时速度为1m/s，g取10m/s²，导轨的电阻不计，求：
（1）小球滑至b时回路中的感应电流；
（2）在此过程中产生的焦耳热；
（3）小球从a到b的时间为π的$\frac{1}{4}$，整个过程中的平均电动势大小．

Answer 1

分析 （1）oa转动切割磁感线，E=BLv_中=BL$\frac{1}{2}$v_b求解感应电动势，由闭合电路的欧姆定律求出感应电流．
（2）小球从a沿圆环滑到b的过程中小球的重力势能减小，转化为小球的动能和内能，即可求出此过程中产生的焦耳热．
（3）根据法拉第电磁感应定律即可求出整个过程中的平均电动势大小．

解答 解：（1）oa是在转动切割，此时的电动势：$E=BL•\frac{{v}_{b}}{2}=1.0×1×\frac{1}{2}=0.5$V   
由闭合电路的欧姆定律得：$I=\frac{E}{{r}_{1}+{r}_{2}}=\frac{0.5}{0.1+0.1}=2.5$A
（2）根据能量守恒定律有：$mhR=\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$
得：$Q=mgh-\frac{1}{2}m{v}^{2}=0.1×10×1.0-\frac{1}{2}×0.1×{1}^{2}=0.95$J
（3）小球从a到b的时间为t的，Oa棒扫过的面积为$\frac{1}{4}π{R}^{2}$，
回路中磁通量的变化量：△Φ=$\frac{1}{4}π{R}^{2}•B$
整个过程中的平均电动势大小：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}=\frac{π{BR}^{2}}{4t}$=$\frac{π×1×{1}^{2}}{4×\frac{1}{4}π}=1$V
答：（1）小球滑至b时回路中的感应电流是2.5A；
（2）在此过程中产生的焦耳热是0.95J；
（3）小球从a到b的时间为t的，整个过程中的平均电动势大小是1V．

点评 对于转动切割磁感线的情形，瞬时感应电动势E=BL$\overline{v}$=$\frac{1}{2}BLω$．平均电动势$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$．要注意它们的区别．